ラグランジュ力学とハミルトンの変分原理 📂古典力学

ラグランジュ力学とハミルトンの変分原理

概要

ハミルトンの原理、汎関数、作用、変分などについて、可能な限り簡単に説明しています。他の場所で満足のいく説明を見つけられなかった場合は、最後まで読むことをお勧めします。特に、大学1〜2年生でも十分に読めるように作成しました。

ラグランジュ力学¹

物体が時間 $t_{1}$ から $t_{2}$ まで運動するとき、運動経路に対するラグランジアンの積分を作用^actionといい、以下のように $J$ で表します。

$$ \begin{equation} J=\int_{t_{1}}^{t_{2}} L dt \end{equation} $$

このとき、可能なすべての運動経路の作用の中で、実際の運動経路の作用が最小になります。ラグランジアン^Lagrangianは、運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの差で定義され、一般に$L$で表されます。

$$ L = T-V $$

この内容は、ハミルトンの原理^{Hamilton’s variational principle}または最小作用の原理^{principle of least action}と呼ばれます。最小作用の原理という名前は$(1)$の積分を作用と呼ぶからです。元々最小値と極小値は異なる概念ですが、ここでは同じ意味を持つとします。正確には極値（極大または極小）が適切です。マリオンの教科書を基準にすれば、恐らく1学期、ファウルズの教科書を基準にすれば2学期に学ぶラグランジュ力学の最初の内容です。しかし、教科書に忠実であるだけでは、この内容を理解するのが非常に難しかったです。新しい概念が登場しますが、それが何であるかを親切に説明してくれません。例えば、ファウルズの教科書では以下のような式が登場します。

$$ \begin{equation} \delta J =\delta \int_{t_{1}}^{t_{2}} L dt = 0 \end{equation} $$

そして、新しく登場した記号$\delta$についての説明は以下のようです。

"$\delta$は、全体の積分の變分(variation)に対する極値である。"

これを読んで$\delta$が何を意味するのかどうやって分かるでしょうか。変分が何かもちゃんと教えてくれず、その後の計算はどんどん進みます。等式がなぜ成立するのかも分からないので、一行一行読むスピードも非常に遅く、内容を理解すること自体が非常に困難でした。そこで、ラグランジュ力学を初めて学ぶ学生のために、できるだけ親切に説明しようと思います。まず、ハミルトンの原理を記述する際に使用される用語を整理する必要があります。

汎関数

多くの資料で$(2)$の積分を汎関数と言いますが、普通に勉強してきた物理学部の学生であれば、汎関数が何であるか知らないのが普通です。皆さんは、実数を入力すると実数（または複素数）が出力されるものを関数として知っているでしょう。

$$ f(x)=x^2,\quad g(x)=e^{2x} $$

しかし、関数の数学的定義を考えると、数字を入力して数字が出力される必要はありません。何かを入力してそれに対応する結果が出力されるものが関数なので、入力するものに制限はありません。このとき、ある関数に関数を入力してそれに応じてある数が出力される場合、その関数を汎関数^functionalと言います。例えば、以下のように定義された関数$F$は汎関数です。

$$ {\color{blue}F\big( {\color{orange}f(x)} \big)} := {\color{red}\int_{1}^{2} f(x) dx} $$

つまり、関数$F$はある関数を$1$から$2$まで定積分した値を関数値として持ちます。実際に計算してみると、

$$ {\color{blue}F( {\color{orange} e^{x} })} = \int_{1}^2 e^x dx = {\color{red}e^2-e},\quad {\color{blue}F({\color{orange}x^2})}=\int_{1}^2 x^{2} dx = {\color{red}\frac{7}{3} } $$

上記のように、関数を入力したときに実数（または複素数）が出力される関数を汎関数と言います。続く内容ですが、最小作用の原理で作用はまさに汎関数です。‘各運動経路に対するラグランジアン’という関数を入力したときにある値が出るので、汎関数です。汎関数に関する数学的な内容を含む記事がブログにありますが、リンクは紹介しません。おそらく読めばさらに混乱するでしょうから、できれば読まないことをお勧めします。本当に興味があれば、右上の検索バーで汎関数を検索して読んでみてください。よく分からなければ、忘れてしまいましょう。

作用とラグランジアン

運動エネルギーからポテンシャルエネルギーを引いたものをラグランジアンと呼び、$L$で表します。

$$ L=T-V $$

ラグランジアンは速度、位置、時間に影響を受けるため、位置を$y$とすると、以下のように表すこともできます。

$$ L=L(y^{\prime},\ y,\ t) $$

ラグランジアンという名前は、フランスの数学者ジョゼフ・ルイ・ラグランジュの名前から付けられました。ラグランジアンを時間に対して定積分したものを作用、またはアクションと呼び、一般に$J$で表します。

$$ J = \int_{t_{1}}^{t_{2}} L dt = \int_{t_{1}}^{t_{2}} L(y^{\prime},\ y,\ t) dt $$

ハミルトンの原理

1834年、イギリスの数学者ウィリアム・ローアン・ハミルトンが考案したもので、物体が実際に動く経路は作用が最小になるような原理です。これは証明可能な事実ではなく、$F=ma$のように自然界に存在する基本原理の一つと受け入れれば良いです。例えば、私たちが物体を高い場所から投げて落とすとき、物体がどのような経路で地面まで動くか知りたいとします。私たちが予想できる経路は数えきれないほど多いでしょうが、その中で実際に物体が動く経路には何か特別な点があるということです。それは、各経路に対するラグランジアンを時間に対して積分したとき、実際に動く経路に対するラグランジアンの積分値が最も小さいということです。つまり、作用が最小になる経路を見つければ、それが実際に物体が動く経路です。そのため、ハミルトンの原理は最小作用の原理とも呼ばれます。この原理を基に物体の運動を扱うことがラグランジュ力学^{Lagrangian mechanics}です。驚くべきことに、ラグランジュ力学はニュートン力学とは全く異なって見えますが、同じ結果を与えるということです。つまり、表現方法は異なるものの、本質は同じです。ニュートン力学はベクトル計算に基づいて物体の動きを扱い、ラグランジュ力学はスカラー（エネルギー）の計算によって力学を記述します。

変分

簡単に言うと、上で詳しく説明した内容を数学的に整理したものです。まず、簡単な例として2次関数の最小値を見つける問題を考えてみましょう。

上の図のような2次関数が与えられたとします。関数値の最小値は$1$で、関数値が最小になる場所は$x=3$です。最小値（極小値）を持つ点では傾きが$0$なので、微分したとき$0$であることが分かります。したがって、

$$ \dfrac{dy}{dx} \bigg|_{x=3}=0 $$

です。この内容を最小作用の原理にそのまま適用することになります。

上の図に示されているように、物体が実際に運動する経路を$y(0, t)$としましょう。物体が運動できる任意の経路を上の図のように$y(\alpha, t)=y(0,t)+\alpha \eta (t)$としましょう。参考までに$\eta$はギリシャ文字のエタです。$\alpha \eta (t)$は実際の経路と比較したときの誤差と考えれば良いです。図と数式を見れば分かるように、誤差がないとき、つまり$\alpha=0$のとき、可能な任意の経路$y(\alpha, t)$は実際の経路になります。また、最小作用の原理は、可能なすべての経路に対する作用の中で、実際の経路に対する作用が最小の値であるという内容です。両方の内容を組み合わせて、上で挙げた例を適用すれば、作用を微分して$\alpha=0$を代入したとき、その値が$0$であるという結果を得ます。

$$ \dfrac{\partial J}{\partial \alpha}=\dfrac{\partial }{\partial \alpha} \int_{t_{1}}^{t_{2}} L\big( y^{\prime}(\alpha,t),\ y(\alpha,t),\ t \big) dt =0 $$

これを簡単に表記すると、以下のようになり、$\delta J$を$J$の変分と呼びます。

$$ \delta J = 0 $$

つまり、$\delta=\dfrac{\partial }{\partial \alpha}$と理解すれば良いです。したがって、以下のような等式が成立します。

$$ \delta \dot{y}=\dfrac{\partial }{\partial \alpha}\frac{dy}{dt}=\dfrac{d}{dt}\frac{\partial y}{\partial \alpha}=\dfrac{d}{dt}\delta y $$