양자역학에서 파동함수와 힐베르트 공간
도입
고전 역학에서 주된 관심사는 주어진 조건에서 뉴턴 제2 법칙 $\mathbf{F} = m \mathbf{a}$를 만족하는 위치 함수 $\mathbf{r}(t)$를 찾는 일이다. 가령 2차원 공간에서 초기속도 $\mathbf{v}_{0} = (v_{0}\cos\theta, v_{0}\sin\theta)$로 발사된 물체의 시간에 따른 위치는 다음의 연립 방정식을 풀어 구할 수 있고, 이를 포물선 운동이라 한다.
$$ \begin{align*} m \dfrac{d^{2}\mathbf{r}}{dt^{2}} &= -mg\hat{\mathbf{y}} \\ \mathbf{v}(0) &= (v_{0}\cos\theta, v_{0}\sin\theta) \end{align*} $$
위 식을 풀면 물체의 위치를 나타내는 함수가 다음과 같다는 것을 알 수 있다.
$$ \mathbf{r}(t) = -\dfrac{1}{2}gt^{2}\hat{\mathbf{y}} + t \mathbf{v}_{0} $$
위치를 알면 속도 $\mathbf{v} = \dfrac{d\mathbf{r}}{dt}$를 알 수 있고, 속도를 알면 운동량 $\mathbf{p} = m\mathbf{v}$과 운동 에너지 $T = \dfrac{1}{2}mv^{2}$를 알 수 있다. 즉 $\mathbf{r}(t)$를 구하는 것이 중요한 이유는 이로부터 물체에 대한 물리적인 정보들을 알 수 있기 때문이다.
이와 비슷하게 양자 역학에서 관심을 갖는 것은 입자의 파동 함수이다. 물체의 운동을 분석하기 위해 고전역학에서 뉴턴 제2 법칙의 해를 구한다면, 양자역학에서는 슈뢰딩거 방정식의 해를 구한다. 이 함수가 물체에 대한 물리적인 정보를 담고 있기 때문이다.
정의
다음과 같은 슈뢰딩거 방정식의 해solution를 파동 함수wave function라 한다.
$$ \begin{align*} \i\hbar\frac{ \partial \psi}{ \partial t} &= \left(-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{ \partial ^{2} }{\partial x^{2} }+V\right)\psi & (\text{1-dim}) \\[1em] \i\hbar\frac{ \partial \psi}{ \partial t} &= \left(-\frac{\hbar^{2}}{2m}\nabla^{2}+V\right)\psi & (\text{3-dim}) \end{align*} $$
이때 $\hbar$는 환산 플랑크 상수reduced Planck constant, $V$는 퍼텐셜, $\nabla^{2}$는 라플라시안이다.
설명
파동함수의 표기로 주로 쓰이는 표기법들은 다음과 같다.
$$ \Psi(x, t),\quad \psi(x, t),\quad \phi(x, t),\quad u(x) $$
생새우초밥집에서는 위치와 시간에 대한 파동함수를 $\psi (x,t)$로 표기하고, 시간에 무관하고 위치에 대한 파동 함수는 $u(x)$로 표기한다. 퍼텐셜이 없는 경우, 즉 자유입자free particle의 파동함수는 다음과 같다.
$$ \begin{align*} \psi(x, t) &= e^{\i (kx - \omega t)} = e^{\i (px - Et)/\hbar} & (\text{1-dim}) \\ \psi(\mathbf{r}, t) &= e^{\i (\mathbf{k}\cdot \mathbf{r} - \omega t)} = e^{\i (\mathbf{p}\cdot \mathbf{r} - Et)/\hbar} & (\text{3-dim}) \end{align*} $$
위의 슈뢰딩거 방정식에서 $V = 0$으로 두고 $\psi$를 대입해보면 식이 성립한다는 것을 쉽게 확인할 수 있다.
$$ {-} \dfrac{\hbar^{2}}{2m}\dfrac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}\psi = - \dfrac{\hbar^{2}}{2m} \dfrac{(\i p)^{2}}{\hbar^{2}} \psi = \dfrac{p^{2}}{2m}\psi = E\psi $$
$$ \i \hbar \dfrac{\partial \psi}{\partial t} = \i \hbar \left( -\i E/\hbar \right)\psi = E\psi $$
다만 이 평면파 해는 제곱적분이 불가능해서 규격화될 수 없으므로, 그 자체로는 물리적 상태를 나타내지 못하는 형식적인 해라는 점에 주의하자. 실제 자유입자의 상태는 이러한 평면파들을 중첩한 파동 다발wave packet로 만들어진다.
해석
위에서 파동함수가 물체에 대한 물리적인 정보를 담고 있다고 했는데, 이는 구체적으로 막스 보른의 해석에 따라 $\left| \psi(x, t) \right|^{2}$을 시간이 $t$일 때, 어느 지점 $x$에서 입자가 존재할 확률 밀도 함수로 다룬다. 따라서 아래의 식은 시간이 $t$일 때 구간 $[a, b]$에서 입자가 존재할 확률을 의미한다.
$$ \int _{a} ^b |\psi (x,t)|^2dx \\[1em] = \text{The probability that a particle exists in the interval } [a,b] \text{ at time } t $$
힐베르트 공간
양자역학에서 말하는 힐베르트 공간이란, 수학적으로는 다음과 같은 르벡 공간 $L^{2}$와 같다. 이는 여러 힐베르트 공간 중 하나이지만 양자역학에서는 이외의 힐베르트 공간에 관심을 갖지 않기 때문에 사실상 같은 것으로 다룬다.
$$ L^{2} = \left\{ \psi : \int \left| \psi \right|^{2} dx < \infty \right\} $$
이는 파동함수의 제곱적분이 발산하지 않아야 한다는 얘기다. 힐베르트 공간은 본디 내적이 주어지는 공간인데, 두 파동함수의 내적inner product은 다음과 같이 정의된다.
$$ \braket{\psi | \phi} := \int \psi^{\ast}(x, t) \phi(x, t) dx $$
엄밀히는 내적이 정의되어 있고 그 내적에서 유도된 놈에 대해 완비complete인 벡터공간을 힐베르트 공간이라 하는데, 물리학과 학부생이라면 이 모든 것의 수학적 정의까지 알 필요는 없다. 힐베르트 공간이란 "제곱적분가능한 함수들의 집합"으로 이해해도 충분하다.
파동함수, 즉 물리적 상태는 $L^{2}$의 원소 중에서도 규격화된($\int |\psi|^{2} = 1$)것이며, $\psi, \phi \in L^{2}$이기만 하면 위의 내적이 유한하다는 것이 보장된다.
코시-슈바르츠 부등식
또한 내적이 있으므로 코시-슈바르츠 부등식이 성립한다. 두 파동함수 $\psi$, $\phi$에 대해,
$$ \left| \braket{\psi | \phi} \right| \leq \sqrt{\braket{\psi | \psi}}\sqrt{\braket{\phi | \phi}} $$
혹은 다음과 같이 표현하기도 한다.
$$ \left| \braket{\psi | \phi} \right|^{2} \le \braket{\psi | \psi} \braket{\phi | \phi} $$