確率分布論
基礎
統計学を学ぶ者なら避けては通れない数理統計学、その中でも確率分布に関する内容を扱う。
基本分布
- 一様分布 $U(a,b)$
- 二項分布 $\text{Bin} (n,p)$
- 幾何分布 $\text{Geo} (p)$
- 負の二項分布 $\text{NB} (r,p)$
- ポアソン分布 $\text{Poi} ( \lambda )$
- 指数分布 $\exp ( \lambda)$
- 正規分布 $N \left( \mu,\sigma^{2} \right)$
サンプリング分布
- ガンマ分布 $\Gamma (k,\theta)$
- ベータ分布 $\text{Beta} (\alpha,\beta)$
- カイ二乗分布 $\chi^{2}(r)$
- F分布 $F \left( r_{1} , r_{2} \right)$
- t分布 $t \left( \nu \right)$
- コーシー分布: 平均が存在しない分布 $C$
上級
実際の形式科学の世界では確率分布論は統計学の枠を超えて数え切れないほど多くの場所で応用されるが、それについて教科書と呼べるほどよく整理された文献は見つけにくい。各分布と関連する論文を探して別々に勉強するのが現実だが、これからは生しらす寿司店でよく整理する。
特殊分布
多変量分布
- 多項分布 $M_{k} \left( n, \mathbf{p} \right)$
- 多変量正規分布 $N_{p} \left( \mu , \Sigma \right)$
- 多変量t分布 $t_{p} \left(\nu; \mu , \Sigma \right)$
方向分布
- 変形ベッセル関数第一種 $I_{\nu}$ が方向統計学に登場する理由
- フォンミーゼス分布 $\text{vM} \left( \mu , \kappa \right)$
- 二変量フォンミーゼス分布 $\text{vM}^{2} \left( \mu , \nu , \kappa_{1} , \kappa_{2} \right)$
- フォンミーゼス・フィッシャー分布 $\text{vMF}_{p} \left( \mu , \kappa \right)$
- ビンガム・マルディア分布
- ケント分布
主要参考文献
- Casella. (2001). Statistical Inference(2nd Edition)
- Hogg et al. (2013). Introduction to Mathematical Statistcs(7th Edition)
全體ポスト
- 平均がゼロの正規分布に従う確率変数のべき乗の期待値
- 二項分布
- ベルヌーイ分布の平均と分散
- 二項分布
- 二項分布の平均と分散
- 幾何分布
- 幾何分布の平均と分散
- 幾何分布の二つの定義が持つ違い
- 負の二項分布
- 負の二項分布の平均と分散
- ポアソン分布
- ポアソン分布の平均と分散
- 指数分布
- 指数分布の平均と分散
- 指数分布とポアソン分布の関係
- 指数分布の無記憶性
- 幾何分布の無記憶性
- ガンマ分布
- ガンマ分布の平均と分散
- ガンマ分布とポアソン分布の関係
- ガンマ分布と指数分布の関係
- ガンマ分布とカイ二乗分布の関係
- ベータ分布
- ベータ分布の平均と分散
- 二つの独立したガンマ分布からのベータ分布の導出
- カイ二乗分布
- カイ二乗分布の平均と分散
- F分布
- F分布の平均と分散
- 独立した二つのカイ二乗分布からF分布を導出する
- 正規分布
- 正規分布の平均と分散
- 標準正規分布の二乗は、自由度1のカイ二乗分布に従うことを証明
- 独立な正規分布およびカイ二乗分布からのスチューデントのt分布の導出
- t-分布
- t分布の平均と分散
- コーシー分布:平均が存在しない分布
- 二項分布の極限分布としてのポアソン分布の導出
- 二項分布の極限分布としての標準正規分布の導出
- ポアソン分布の極限分布としての標準正規分布の導出
- スチューデントのt分布の極限分布としての標準正規分布の導出
- 多変量正規分布
- 多変量t分布
- 二項分布から近似される正規分布の分散安定化
- ログ正規分布
- パレート分布
- レイリー分布
- ワイブル分布
- F分布からベータ分布を導出する
- t分布からF分布への導出
- 二項分布の十分統計量と最尤推定量
- 幾何分布の十分統計量と最尤推定量
- ポアソン分布の十分統計量と最尤推定量
- 指数分布の十分統計量と最尤推定量
- 正規分布の十分統計量と最尤推定量
- ガンマ分布の十分統計量
- ベータ分布の十分統計量
- カイ二乗分布の十分統計量
- 回帰係数の正規性証明
- 第一種変形ベッセル関数が方向統計学に登場する理由
- 多項分布
- 正規分布のエントロピー
- 多項分布の共分散行列の導出
- ピアソンの定理の証明
- フォン・ミーゼス分布
- 二変量フォンミーゼス分布
- フォン・ミーゼス・フィッシャー分布
- なぜ正規分布인가
- ビンガム-マルディア 分布
- ケント分布
- 非中心カイ二乗分布
- 非中心F分布
- 多変量正規分布の線形変換
- 多変量正規分布での独立とゼロ相関は同値である
- 多変量正規分布の条件付き平均と分散