ポアソン分布の極限分布としての標準正規分布の導出
定理
$X_{n} \sim \text{Poi} \left( n \right)$であり$\displaystyle Y_{n} := {{ X_{n} - n } \over { \sqrt{n} }}$ならば $$ Y_{n} \overset{D}{\to} N(0,1) $$
- $N \left( \mu , \sigma^{2} \right)$は平均が$\mu$で分散が$\sigma^{2}$の正規分布である。
- $\text{Poi} (\lambda)$は平均と分散が$\lambda$のポアソン分布である。
説明
二項分布のポアソン分布近似を考えれば当然のことだが、ポアソン分布からもやはり標準正規分布を導出できる。
導出1
$Y_{n}$のモーメント母関数$M_{Y_{n}} (t)$を通じて分布収束することを示す。
ポアソン分布のモーメント母関数: $$ m(t) = \exp \left[ \lambda \left( e^{t} - 1 \right) \right] \qquad , t \in \mathbb{R} $$
$X_{n} \sim \text{Poi} (n)$なので $$ \begin{align*} M_Y (t) =& E \left[ \text{exp} \left( Y_{n} t \right) \right] \\ =& E \left[ \text{exp} \left( {{ X_{n} - n } \over { \sqrt{n} }} t \right) \right] \\ =& E \left[ \text{exp} \left( {{ X_{n} } \over { \sqrt{n} }} t \right) \text{exp} ( -t \sqrt{n} ) \right] \\ =& \text{exp} ( -t \sqrt{n} ) E \left[ \text{exp} \left( X_{n} {{ t } \over { \sqrt{n} }} \right) \right] \\ =& \text{exp} ( -t \sqrt{n} ) \exp \left( n \left( e^{t/\sqrt{n}} - 1 \right) \right) \end{align*} $$ 第二因子のテイラー展開により $$ \begin{align*} & \text{exp} \left( -t \sqrt{n} + n \left( 1 + {{t} \over {\sqrt{n}}} + {{1} \over {2!}} {{t^2} \over {n}} + {{1} \over {3!}} {{t^3} \over {n \sqrt{n} }} + \cdots - 1 \right) \right) \\ =& \text{exp} \left( -t \sqrt{n} + n \left( {{t} \over {\sqrt{n}}} + {{1} \over {2!}} {{t^2} \over {n}} + {{1} \over {3!}} {{t^3} \over {n \sqrt{n} }} + \cdots \right) \right) \\ =& \text{exp} \left( -t \sqrt{n} + t \sqrt{n} + {{t^2} \over {2!}} + {{1} \over {3!}} {{t^3} \over { \sqrt{n} }} + \cdots \right) \\ =& \text{exp} \left( {{t^2} \over {2!}} + {{1} \over {3!}} {{t^3} \over { \sqrt{n} }} + \cdots \right) \end{align*} $$ したがって $$ \lim_{n \to \infty} M_{Y_{n}} = e^{ t^2 \over 2 } $$
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