幾何分布の二つの定義が持つ違い
説明
幾何分布について勉強しながら最も戸惑い、混乱するのは、教材、ブログ、ウィキごとに説明が異なるということだ。あるところでは平均が$\displaystyle {{1} \over {p}} $であるのに、別のところでは$\displaystyle {{1-p} \over {p}}$と書いたりもする。
このような違いは幾何分布を定義する方法が二つあるためだ。幾何分布$\text{Geo}(p)$の確率質量関数は $$ p_{1}(x) = p(1-p)^{x-1} , x= 1,2,3,\cdots $$ あるいは $$ p_{2}(x) = p(1-p)^{x} , x= 0,1,2,\cdots $$ と定義される。期待値は確率質量関数によって決まるので、$p_{1}$を使えば$\displaystyle {{1} \over {p}}$となり、$p_{2}$を使えば$\displaystyle {{1-p} \over {p}}$となる。
確率質量関数をよく見れば分かるが、二つの定義に本質的な違いはなく、結局$1$から始めるか、$0$から始めるか、それだけだ。幾何分布の直観的な定義を考えてみると、ある事象が起こることを「成功」としたとき、成功までの試行回数に関心があるのか、成功までに失敗した回数に関心があるのか、この二つしかない。一度で成功したなら試行回数は$1$であり、失敗回数は$0$であろう。
一方、幾何分布は無記憶性を持っているため、生存分析に活用できるであろうし、事象が起こることを「破損」とするなら、我々が関心を持つのは破損せずに何回耐えるかということになるだろう。このような場合には、上で述べた「失敗」回数を数える意味がある。
結局、どの確率質量関数を選ぶかは、関心のある対象や利便性、慣習などによって決まると見ればよい。あまり難しく考えず、ただ自分が使いたいものを使っているのだな、という程度に考えて先に進もう。