指数分布の無記憶性
性質
$X \sim \exp{ ( \lambda ) }$ならば$P(X \ge s+ t ,|, X \ge s) = P(X \ge t)$
説明
指数分布は、ある事象が起こる期間に関心を置く連続確率分布である。深く考えなくとも、寿命予測や保険などに応用できることは想像できる。
ここでの無記憶性memoryless Propertyとは、過ぎてきた時間がこれから起こる事象に影響を与えない性質のことである。たとえば、健康に関するすべての条件が同じであるならば、30代の男性であれ50代の男性であれ、どちらが先に死ぬかは分からない。20年長く生きたとしても、今日の健康に関する条件がすべて同じならば、死のタイマーも今日から再び始まるのだ。さらに極端には、今日明日に生まれる新生児であれ、今日明日をも知れぬ老人であれ、旅立つのに順序はないとも言える。これが現実と合わない理由は、「健康に関するすべての条件が同じ」という仮定が間違っているからである。
逆に、ある集団に属する構成員全員が同じ仮定を満たすことを示せるならば、その人たちの寿命を予測できるだろう。彼らの寿命が尽きるときに一定の補償金を約束し、期待寿命より短い時間でより多くの金を受け取ることがまさに保険である。
導出
$P(0 \le X \le a) = 1 - e^{-\lambda a}$なので$P(X \ge a) = e^{-\lambda a}$であり、 $$ \begin{align*} P(X \ge s+ t ,|, X \ge s) =& {{P(X \ge s+ t)} \over {P(X \ge s)}} \\ =& {{e^{-\lambda (s+ t)}} \over {e^{-\lambda s}}} \\ =& e^{ - \lambda t} \\ =& P(X \ge t) \end{align*} $$
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