📂確率分布論

独立な正規分布とカイ二乗分布からのスチューデントt-分布の導出

定理

二つの確率変数$W,V$が独立であり、$W \sim N(0,1)$、$V \sim \chi^{2} (r)$とすると $$ T = { {W} \over {\sqrt{V/r} } } \sim t(r) $$

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• $N \left( \mu , \sigma^{2} \right)$は平均が$\mu$で分散が$\sigma^{2}$の正規分布である。
• $\chi^{2} \left( r \right)$は自由度$r$のカイ二乗分布である。
• $t(r)$は自由度$r$のt-分布である。

説明

もっぱら統計学を通じてのみこの定理に接するなら、この定理は実用性から見ても歴史的に見ても、むしろt-分布の定義に近い。

導出¹

戦略：ジョイント確率密度関数から直接演繹する。

正規分布の定義：$\mu \in \mathbb{R}$と$\sigma > 0$に対して、次のような確率密度関数を持つ連続確率分布$N \left( \mu,\sigma^{2} \right)$を正規分布という。 $$ f(x) = {{ 1 } \over { \sqrt{2 \pi} \sigma }} \exp \left[ - {{ 1 } \over { 2 }} \left( {{ x - \mu } \over { \sigma }} \right)^{2} \right] \qquad, x \in \mathbb{R} $$

カイ二乗分布の定義：自由度$r > 0$に対して、次のような確率密度関数を持つ連続確率分布$\chi^{2} (r)$をカイ二乗分布という。 $$ f(x) = {{ 1 } \over { \Gamma (r/2) 2^{r/2} }} x^{r/2-1} e^{-x/2} \qquad , x \in (0, \infty) $$

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$W,V$の確率密度関数$f_{1} , f_{2}$はそれぞれ $$ f_1 (w) := { {1} \over {\sqrt{2 \pi }} } e ^{- w^{2} / 2} \\ \displaystyle f_2 (v) ={ 1 \over { \Gamma ({r \over 2}) 2^{r \over 2} } } v^{ {r \over 2} - 1 } e^{-{{v} \over 2}} $$ のように与えられるので、$W$と$V$のジョイント確率密度関数$h$は$w \in \mathbb{R}$、$v \in (0,\infty)$に対して次の通りである。 $$ h(w,v) = { {1} \over {\sqrt{2 \pi }} } e ^{- w^{2} / 2} { 1 \over { \Gamma ({r \over 2}) 2^{r \over 2} } } v^{ {r \over 2} - 1 } e^{-{{v} \over 2}} $$ ここで$\displaystyle T := { {W} \over {\sqrt{V/r} } }$そして$U := V$とすると、$w = t\sqrt{u} / \sqrt{r}$であり$v = u$なので $$ \left| J \right| = \begin{vmatrix} {{\sqrt{u}} \over {\sqrt{r}}} & 0 \\ {{t} \over {2 \sqrt{ur}}} & 1 \end{vmatrix} = \sqrt{{{ u } \over { r }}} $$ したがって、$T, U$のジョイント確率密度関数は $$ \begin{align*} g(t,u) =& h({ {w} \over {\sqrt{v/r} } },u) |J| \\ =& { {1} \over {\sqrt{2 \pi } \Gamma (r/2) 2^{r/2} } } u^{r/2 -1} \exp \left\{ -{{u} \over {2} } \left( 1 + { {t^2} \over {r} } \right) \right\} { {\sqrt{u} } \over {\sqrt{r} } } \end{align*} $$ $T$のマージナル確率密度関数は $$ \begin{align*} g(t) =& \int_{-\infty}^{\infty} g(t,u) du \\ =& \int_{0}^{\infty} { {1} \over {\sqrt{2 \pi r} \Gamma (r/2) 2^{r/2} } } u^{(r+1)/2 -1} \exp \left\{ -{{u} \over {2} } \left( 1 + { {t^2} \over {r} } \right) \right\} du \end{align*} $$ $\displaystyle z := {{u} \over {2}} \left( 1 + {{t^2} \over {r}} \right)$と置換すると $$ \begin{align*} g(t) =& \int_{0}^{\infty} { {1} \over {\sqrt{2 \pi r} \Gamma (r/2) 2^{r/2} } } \left( { {2z} \over {1 + t^2 / r} }\right)^{(r+1)/2-1} e^{-z} \left( { {2} \over {1+ t^2 / r} } \right) dz \\ =& { {1} \over {\sqrt{\pi r} \Gamma (r/2) } } \int_{0}^{\infty} {{ 1 } \over { \sqrt{2} 2^{r/2} }}z^{(r+1)/2-1} \left( { {2} \over {1 + t^2 / r} }\right)^{(r+1)/2-1} e^{-z} \left( { {2} \over {1+ t^2 / r} } \right) dz \\ =& { {1} \over {\sqrt{\pi r} \Gamma (r/2) } } \int_{0}^{\infty} {{ 1 } \over { 2^{(r+1)/2} }}z^{(r+1)/2-1} \left( { {2} \over {1 + t^2 / r} }\right)^{(r+1)/2} e^{-z} dz \\ =& { {1} \over {\sqrt{\pi r} \Gamma (r/2) } } \int_{0}^{\infty}z^{(r+1)/2-1} \left( { {1} \over {1 + t^2 / r} }\right)^{(r+1)/2} e^{-z} {{ \Gamma \left( (r+1)/2 \right) } \over { \Gamma \left( (r+1)/2 \right) }} dz \\ =& { {\Gamma \left( (r+1)/2 \right)} \over {\sqrt{\pi r} \Gamma (r/2) } } \left( { {1} \over {1 + t^2 / r} }\right)^{(r+1)/2} \int_{0}^{\infty} {{ 1 } \over { \Gamma \left( (r+1)/2 \right) }} z^{(r+1)/2-1} e^{-z} dz \\ =& { {\Gamma \left( (r+1)/2 \right)} \over {\sqrt{\pi r} \Gamma (r/2) } } \left( { {1} \over {1 + t^2 / r} }\right)^{(r+1)/2} \cdot 1 \end{align*} $$ 被積分関数がガンマ分布$\Gamma \left( {{ r + 1 } \over { 2 }} , 1 \right) $の確率密度関数となるので、複雑な計算を避けることができる。整理すると $$ g(t) = {{\Gamma ( (r+1)/2 ) } \over { \sqrt{\pi r} \Gamma (r/2) }} { {1} \over {(1 + t^{2} / r)^{(r+1)/2} } } $$ これは自由度が$r$のt-分布の確率密度関数であるため $$ T = { {W} \over {\sqrt{V/r} } } \sim t(r) $$

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