二項分布の極限分布としてのポアソン分布の導出
定理
$X_{n} \sim B(n,p)$としよう。
$\mu \approx np$ならば $$ X_{n} \overset{D}{\to} \text{Poi} (\mu) $$
- $B(n,p)$は試行回数$n$、確率$p$の二項分布である。
- $\text{Poi} (\lambda)$は平均と分散が$\lambda$のポアソン分布である。
- $\overset{D}{\to}$は分布収束を意味する。
説明
ここで$\mu \approx np$という条件が必要であることに注目しよう。$ np \approx npq$なので$q = (1-p) \approx 1$、すなわち$p \approx 0$である。これは$p$が非常に小さいことを意味する。
一方、$\displaystyle p \approx { {\mu} \over {n} }$なので$n$は非常に大きくなければならない。このような条件が現れる経緯は、ポアソン分布の平均と分散が等しいという点から容易に納得できるだろう。
証明
モーメント母関数$M_{X} (t)$を考えてみよう。 $$ M_{X} (t) = \left\{ (1-p) + p e^{t} \right\} ^{n} = \left\{ 1 + p (e^{t} - 1 ) \right\} ^{n} $$ $\displaystyle p \approx { {\mu} \over {n} } $なので $$ M_{X} (t) = \left\{ 1 + { {\mu (e^{t} - 1 )} \over {n} } \right\} ^{n} $$ したがって $$ \lim_{n \to \infty} M_{X} (t) = e^{ \mu (e^{t} - 1 ) } $$ $ e^{ \mu (e^{t} - 1 ) }$は$\text{Poi}(\mu)$のモーメント母関数なので、$X_{n}$は$ \text{Poi} (\mu)$に分布収束する。
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