数理物理学
ガンマ関数、ベッセル関数、ルジャンドル多項式などの特殊関数に関する内容は「関数」カテゴリーで確認できます。
基本
- 十分に小さい角度とは?
- ポテンシャル、ポテンシャルエネルギーの一般的な定義
- 微分演算子とは?
- 平面に入る/平面から出るベクトルの記法 $\otimes$, $\odot$
- 物理学での期待値の記法 $\braket{x}$
- 物理学でのフラックスとは?
座標系
ベクトル解析
数学的な厳密さは少し緩め、3次元に限定して物理学、工学専攻者レベルのベクトル解析を扱います。一般的な多変数解析、ベクトル解析は多変数ベクトル解析カテゴリーで扱います。
ベクトル解析では、スカラー関数 $f = f(x,y,z)$ とベクトル関数 $\mathbf{f}(x,y,z) = \left( f_{1}, f_{2}, f_{3} \right)$ について扱います。ただし、物理学ではベクトル関数という表現よりも、単にベクトルと言うことも多いです。
物理学でスカラー関数としてよく使用される記法には、$T, V, U, \phi, \psi$ などがあります。スカラー関数はスカラー場scalar fieldとも呼ばれます。
$$T = T(x,y,z)$$
数式的には $T(x,y,z)=2xy+z^{2}$ のように表される関数であり、具体的な例として温度が挙げられます。3次元空間のある座標 $(x,y,z)$ が与えられた場合、その場所の温度はスカラー値なので、温度はスカラー関数として表されます。
ベクトル関数としてよく使用される記法には、$\mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{v}$ などがあります。ベクトル関数はベクトル場vector fieldとも呼ばれます。
$$ \mathbf{A} = \mathbf{A}(x,y,z) = (A_{x}, A_{y}, A_{z}) = A_{x}\hat{\mathbf{x}} + A_{y}\hat{\mathbf{y}} + A_{z}\hat{\mathbf{z}} $$
数式的には $\mathbf{A}(x,y,z) = \left( xy, 2y^{2}, 3xyz \right) = xy\hat{\mathbf{x}} + 2y^{2}\hat{\mathbf{y}} + 3xyz\hat{\mathbf{z}}$ のように表される関数であり、具体的な例として速度が挙げられます。3次元空間で動いているある物体の座標 $(x,y,z)$ が与えられた場合、その場所での物体の速度は3次元ベクトルなので、速度はベクトル関数として表されます。
しかし、物理学ではベクトル関数の変数が時間 $t$ に依存する場合を多く扱います。このときは次のように一変数ベクトル関数の形で表されます。$\mathbf{x}(t) = (x_{1}(t), x_{2}(t), x_{3}(t) )$ とすると、
$$ \mathbf{A} (t) = \mathbf{A}(\mathbf{x}(t)) = \mathbf{A}(x_{1}(t), x_{2}(t), x_{3}(t) ) = \left( A_{1}(t), A_{2}(t), A_{3}(t) \right) $$
ベクトル代数
ベクトル微分
- 直交座標系でのベクトル、内積、外積の微分
- 3次元スカラー/ベクトル関数の導関数
- 分離ベクトル $\mathbf{r} = \mathbf{r} - \mathbf{r}^{\prime}$
- 物理学でのデル演算子とは
- ヘビサイド階段関数を微分するとディラックデルタ関数である
ベクトル積分
テンソル解析
テンソル
曲線座標系
微分方程式
- 微分方程式の基礎
- 球面調和関数:球座標ラプラス方程式の極角、方位角に対する一般解
- 変数分離法を用いた球座標系での方位角に無関係なラプラス方程式の解法
- 変数分離法を用いて円筒座標系でジェット軸に無関係なラプラス方程式の解法
全體ポスト
- 物理学における期待値の表記法
- 방향각과 방향코사인
- 두 벡터의 내적과 사잇각의 관계
- ベクトル三重積、BAC-CAB公式
- レヴィ-チヴィタ記号
- クロネッカーのデルタ
- 二つのレビ-チビタ記号の積
- アインシュタインの記法
- 分離ベクトル
- 分離ベクトルの大きさの勾配
- スカラー三重積
- 直交座標系の単位ベクトルで表された球面座標系の単位ベクトル
- ユークリッド空間
- 勾配の回転は常にゼロです
- ベクトル関数のカールのカール
- カールの発散は常にゼロである
- 三次元ユークリッド空間における外積
- デカルト座標系の単位ベクトルを球面座標系の単位ベクトルに表示する
- 曲線座標系における勾配、発散、回転、ラプラシアン
- デカルト座標系におけるベクトル、内積、外積の微分
- ガウスの定理, 発散定理
- 擬似ベクトルとは
- 傾きの基本定理
- 分離ベクトルの発散
- 球座標系における方位角に依存しないラプラス方程式の解法:変数分離法を使用
- 変数分離法を用いた円筒座標系におけるジェット軸に無関係なラプラス方程式の解法
- ヘヴィサイド階段関数を微分するとディラックのデルタ関数になることの証明
- ラプラシアン演算子が2回登場する方程式、2階の偏微分
- 分離ベクトルの回転
- ストークスの定理
- デル演算子を含む式の部分積分
- 物理学におけるテンソルとは
- ベッセル方程式の導出
- 物理学の付録
- 十分に小さい角度は
- 物理学のための微分方程式の基礎:よく遭遇する微分方程式の解法
- 物理学におけるデル演算子
- 球面調和関数:球面座標ラプラス方程式の極角、方位角に対する一般解
- 球面調和関数の正規化
- 物理学における微分作用素とは?
- エルミート関数が満たす微分方程式の演算子解法
- 二つのベクトルの外積の大きさは、それらが作る平行四辺形の面積と等しい
- 極座標系における焦点が原点の楕円の方程式
- 第二種楕円積分
- 3次元デカルト座標系におけるベクトル関数のカール(回転)
- 極座標系における微小面積、円柱座標系における微小体積
- 円筒座標系における微小体積
- 3次元デカルト座標系におけるスカラー関数の勾配
- 円筒座標系においてr, θを変数として使用すべきではない理由
- 直交座標系におけるベクトル関数の発散
- 全微分、完全微分
- 曲線座標系のスケールファクター
- 三次元空間の曲線座標系
- 曲線座標系における座標変換とヤコビアン
- 曲線座標系でのスカラー関数の勾配
- 曲線座標系におけるベクトル関数の発散
- 三次元デカルト座標系におけるスカラー関数のラプラシアン
- 曲線座標系でのスカラー関数のラプラシアン
- デル演算子を含む乗法則
- デル演算子を含むベクトル積分の様々な公式
- ベクトル領域の定義と性質
- 3次元スカラー/ベクトル関数の導関数
- ポテンシャル、ポテンシャルエネルギーの一般的な定義
- ラグランジュの乗数法
- 物理学における座標系と座標
- 物理学における座標変換
- 3次元空間での内積とは?
- 曲線座標系におけるベクトル関数のカール
- 平面に入る/平面から出るベクトルの表記法
- 直線の定義
- 座標平面の定義
- 極座標系
- 座標空間、デカルト座標系
- 球面座標系
- 物理学におけるフラックスとは?
- 曲線座標系における勾配、発散、および回転
- 曲線座標系とデル演算子
- 円柱座標系におけるデル演算子
- 円柱座標系