3次元デカルト座標系におけるベクトル関数のカール(回転)
定義
ベクトル関数 $\mathbf{F}(x,y,z)=(F_{x},F_{y},F_{z})=F_{x}\hat{\mathbf{x}} + F_{y}\hat{\mathbf{y}} + F_{z}\hat{\mathbf{z}}$に対して、次のようなベクトルを$\mathbf{F}$のカールcurlと定義し、$\nabla \times \mathbf{F}$と表記する。
$$ \begin{align} \nabla \times \mathbf{F} &= \left( \dfrac{ \partial F_{z}}{ \partial y }-\dfrac{ \partial F_{y}}{ \partial z} \right)\hat{\mathbf{x}}+ \left( \dfrac{ \partial F_{x}}{ \partial z }-\dfrac{ \partial F_{z}}{ \partial x} \right)\hat{\mathbf{y}}+ \left( \dfrac{ \partial F_{y}}{ \partial x }-\dfrac{ \partial F_{x}}{ \partial y} \right)\hat{\mathbf{z}} \label{def1} \\ &=\begin{vmatrix} \hat{\mathbf{x}} & \hat{\mathbf{y}} & \hat{\mathbf{z}} \\ \dfrac{ \partial }{ \partial x} & \dfrac{ \partial }{ \partial y } & \dfrac{ \partial }{ \partial z} \\ F_{x} & F_{y} &F_{z}\end{vmatrix} \label{def2} \end{align} $$
- $(2)$は$\mathbf{F}$のカールを簡単に覚える公式である。行列式だと思ってそのまま展開すればよい。
説明
curlは回転と訳される。ところが回転という言葉はあまりに日常的でもあり、curlではなくrotationと誤解される余地があるので、生エビ寿司店では回転の代わりにカールを使う。
$\nabla \times \mathbf{F}$は$\mathbf{F}$という物理量がどの方向に回転しているのかを教えてくれるベクトルである。$\nabla \times \mathbf{F}$の方向を軸(親指)として右手の法則を適用すると、右手が包む方向と$\mathbf{F}$が回転する方向が同じになる。ベクトル$\nabla \times \mathbf{F}$の大きさは回転の程度を表す。
アインシュタインの表記法とレヴィ・チヴィタ記号を用いると次のように表せる。$\nabla_{j} = \dfrac{\partial }{\partial x_{j}}$と表記すると、
$$ \nabla \times \mathbf{F} = \epsilon_{ijk}\hat{\mathbf{e}}_{i}\nabla_{j}F_{k} $$
一方、定義において$(1)$という値を$\nabla \times \mathbf{F}$と表記するとした点に注意しよう。$\nabla$をデル演算子と呼びはするが、これ自体が何らかの意味を持つと考えると、$\nabla \cdot \mathbf{F}$や$\nabla \times \mathbf{F}$を内積と外積と誤解しやすい。したがって$\nabla$はあくまで便利な表記法程度に理解すべきであり、グラディエント、ダイバージェンス、カールをまとめてデル演算子たちと呼ぶとするか、いっそデル演算子=グラディエントだと考えたほうがよいかもしれない。詳しい内容は以下で続く。
注意すべき点
$\nabla \times \mathbf{F}$は$\nabla$と$\mathbf{F}$の外積ではない
$\nabla \times \mathbf{F}$はあくまで$\mathbf{F}$に関するある情報を含んだベクトルである。$\nabla$を$\nabla = \dfrac{ \partial }{ \partial x}\hat{\mathbf{x}} + \dfrac{ \partial }{ \partial y}\hat{\mathbf{y}} + \dfrac{ \partial }{ \partial z}\hat{\mathbf{z}}$のようなベクトルだと考えて計算した結果が$(1)$とぴったり一致するので、便宜のために$\nabla \times \mathbf{F}$のように表記しているだけである。もし$\nabla$が実際にベクトルだと仮定すると、おかしな結果を得る。
二つのベクトル$\mathbf{A}, \mathbf{B}$に対して次の式が成り立つ。
$\nabla$が本当にベクトルなら上の公式に代入でき、そうすると次の結果を得る。
$$ \nabla \times (\nabla \times \mathbf{F})=(\mathbf{F} \cdot \nabla)\nabla - (\nabla \cdot \nabla)\mathbf{F} + \nabla (\nabla \cdot \mathbf{F}) - \mathbf{F} (\nabla \cdot \nabla) $$
しかし正しい結果は次のとおりである。
$$ \nabla \times (\nabla \times \mathbf{F})=\nabla(\nabla \cdot \mathbf{F})-\nabla ^{2} \mathbf{F} $$
他の例もある。ベクトルの外積は反交換性を持つので、$\nabla \times \mathbf{F}$が外積であれば次の式が成り立たなければならない。
$$ \nabla \times \mathbf{F} \overset{?}{=} - \mathbf{F} \times \nabla $$
したがって$\nabla$はベクトルではなく、$\nabla \times \mathbf{F}$は$\nabla$と$\mathbf{F}$の外積ではないことがわかる。ベクトルではなく$\nabla \times$自体を一つの関数だと考えなければならない。このように関数を変数として持つ関数を、物理学では演算子という。
では$\nabla \times \mathbf{F}$と$\mathbf{F} \times \nabla$の違いは?
$\nabla \times$はベクトル関数を変数として持つ、次のように定義される演算子である。
$$ \nabla \times (\mathbf{F}) = \left( \dfrac{ \partial F_{z}}{ \partial y }-\dfrac{ \partial F_{y}}{ \partial z} \right)\hat{\mathbf{x}}+ \left( \dfrac{ \partial F_{x}}{ \partial z }-\dfrac{ \partial F_{z}}{ \partial x} \right)\hat{\mathbf{y}}+ \left( \dfrac{ \partial F_{y}}{ \partial x }-\dfrac{ \partial F_{x}}{ \partial y} \right)\hat{\mathbf{z}} $$
言い換えれば$\nabla \times \mathbf{F}$は、$\nabla \times$という演算子(関数)に$\mathbf{F}$という変数を代入したときの関数値である。もちろんこれは再び$(x,y,z)$を変数として持つベクトル関数である。$\nabla \times \mathbf{F}$が$\nabla \times$の関数値であるのに対し、$\mathbf{F} \times \nabla$はそれ自体が一つの演算子である。よく使われる式ではないが、定義するなら次のような微分演算子といえる。
$$ \begin{align*} \mathbf{F} \times \nabla &= \begin{vmatrix} \hat{\mathbf{x}} & \hat{\mathbf{y}} & \hat{\mathbf{z}} \\ F_{x} & F_{y} &F_{z} \\ \dfrac{ \partial }{ \partial x} & \dfrac{ \partial }{ \partial y } & \dfrac{ \partial }{ \partial z} \end{vmatrix} \\ &= \left( F_{y}\dfrac{ \partial }{ \partial z} - F_{z}\dfrac{ \partial }{ \partial y} \right)\hat{\mathbf{x}} + \left( F_{z}\dfrac{ \partial }{ \partial x} - F_{x}\dfrac{ \partial }{ \partial z} \right)\hat{\mathbf{y}} + \left( F_{x}\dfrac{ \partial }{ \partial y} - F_{y}\dfrac{ \partial }{ \partial x} \right)\hat{\mathbf{z}} \end{align*} $$
導出
では、回転するベクトル関数の回転方向(時計回りか反時計回りか)を教えてくれる関数について考えてみよう。ここで重要な事実は、回転面内のどの方向も回転の方向を特定できないということである。以下の図を見よう。
- ベクトル$-\hat{\mathbf{x}}$は点$A$での動きは説明できるが、$B$での動きは説明できない。
- ベクトル$\hat{\mathbf{y}}$は点$C$での動きは説明できるが、$D$での動きは説明できない。
- ベクトル$\hat{\mathbf{x}} + \hat{\mathbf{y}}$は経路$F$は説明できるが、$G$は説明できない。
これは時計回りの場合も同様である。ここで回転方向を特定するには、回転面を抜け出す必要があることを実感するだろう。実はこれを決定するためのよい方法がすでにある。それが右手の法則で決定する方法であり、右手が巻きつく方向の回転軸を親指の方向として決定するのである。したがって$xy$平面で反時計回りに回る回転の軸(方向)は$\hat{\mathbf{z}}$であり、時計回りに回る回転の軸(方向)は$-\hat{\mathbf{x}}$である。
それでは今度は、$\mathbf{F}$が$xy$平面で反時計回りに回っているときに$\hat{\mathbf{z}}$方向を表す値、言い換えれば正の値を探してみよう。回転は簡単に以下のように四角形で表そう。
経路①は点$a$から$b$まで動き、$\mathbf{F}(a) = (1,0,0)$、$\mathbf{F}(b) = (0,1,0)$とする。すると点$a$から$b$まで$x$は$+1$だけ変化し、$F_{y}$も$+1$だけ変化するので、次を得る。
$$ \dfrac{\partial F_{y}}{\partial x} \gt 0 $$
同じ方法で点が$b$から$c$まで動く経路では、$y$は$+1$だけ変化し、$F_{x}$は$-1$だけ変化する。四つの経路すべてについて確認してみると、
$$ \dfrac{\partial F_{y}}{\partial x} \gt 0 \quad \text{in path $\textcircled{1}$, $\textcircled{3}$} $$
$$ \dfrac{\partial F_{x}}{\partial y} \lt 0 \quad \text{in path $\textcircled{2}$, $\textcircled{4}$} $$
したがって上のように反時計回りに回転するベクトル$\mathbf{F}$に対して、以下の値は常に正である。
$$ \dfrac{\partial F_{y}}{\partial x} - \dfrac{\partial F_{x}}{\partial y} \gt 0 $$
逆に$\mathbf{F}$が時計回りに回転しているなら、上の値は常に負である。それでは今度は、ベクトル関数$\mathbf{F}$を代入するたびに$xy$平面で回転する方向と大きさを表す演算子$\operatorname{curl}_{xy}$を次のように定義できる。
$$ \operatorname{curl}_{xy} (\mathbf{F}) = \left( \dfrac{\partial F_{y}}{\partial x} - \dfrac{\partial F_{x}}{\partial y} \right) \hat{\mathbf{z}} $$
- この関数の$\hat{\mathbf{z}}$成分の符号は、$\mathbf{F}$が$xy$平面で回転する方向を表す。
- $+$なら$\mathbf{F}$は$xy$平面で反時計回りに回転する。
- $-$なら$\mathbf{F}$は$xy$平面で時計回りに回転する。
- $0$なら回転しない。
- この関数の$\hat{\mathbf{z}}$成分の大きさは、$\mathbf{F}$が$xy$平面でどれだけ速く回転するかを表す。
今度はこのような議論を$yz$平面と$zx$平面にも適用して、$\mathbf{F}$が3次元空間で回転している方向と大きさを表すベクトル$\nabla \times \mathbf{F}$を次のように定義できる。
$$ \nabla \times \mathbf{F} := \left( \dfrac{\partial F_{z}}{\partial y} - \dfrac{\partial F_{y}}{\partial z} \right)\hat{\mathbf{x}} + \left( \dfrac{\partial F_{x}}{\partial z} - \dfrac{\partial F_{z}}{\partial x} \right)\hat{\mathbf{y}} + \left( \dfrac{\partial F_{y}}{\partial x} - \dfrac{\partial F_{x}}{\partial y} \right)\hat{\mathbf{z}} $$
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関連する公式
線形性: $$ \nabla \times (\mathbf{A} + \mathbf{B}) = \nabla \times \mathbf{A} + \nabla \times \mathbf{B} $$
$$ \nabla \times (f\mathbf{A}) = f(\nabla \times \mathbf{A}) - \mathbf{A} \times (\nabla f) $$
$$ \nabla \times (\mathbf{A} \times \mathbf{B}) = (\mathbf{B} \cdot \nabla)\mathbf{A} - (\mathbf{A} \cdot \nabla)\mathbf{B} + \mathbf{A} (\nabla \cdot \mathbf{B}) - \mathbf{B} (\nabla \cdot \mathbf{A}) $$
$$ \nabla \times (\nabla f) = \mathbf{0} $$
$$ \nabla \times (\nabla \times \mathbf{F}) = \nabla (\nabla \cdot \mathbf{F}) - \nabla^{2} \mathbf{F} $$
ストークスの定理 $$ \int_{\mathcal{S}} (\nabla \times \mathbf{v} )\cdot d\mathbf{a} = \oint_{\mathcal{P}} \mathbf{v} \cdot d\mathbf{l} $$
積分公式 $$ \int_{\mathcal{V}} (\nabla \times \mathbf{v}) d \tau = - \oint_{\mathcal{S}} \mathbf{v} \times d \mathbf{a} $$
$$ \int_{\mathcal{S}} \nabla T \times d \mathbf{a} = - \oint_{\mathcal{P}} T d \mathbf{l} $$
部分積分 $$ \int_{\mathcal{S}} f \left( \nabla \times \mathbf{A} \right)\mathbf{A} \cdot d \mathbf{a} = \int_{\mathcal{S}} \left[ \mathbf{A} \times \left( \nabla f \right) \right] \cdot d\mathbf{a} + \oint_{\mathcal{P}} f\mathbf{A} \cdot d\mathbf{l} $$
$$ \int_{\mathcal{V}} \mathbf{B} \cdot \left( \nabla \times \mathbf{A} \right) d\tau = \int_{\mathcal{V}} \mathbf{A} \cdot \left( \nabla \times \mathbf{B} \right) d\tau + \oint_{\mathcal{S}} \left( \mathbf{A} \times \mathbf{B} \right) \cdot d \mathbf{a} $$
証明
線形性
アインシュタインの表記法、レヴィ・チヴィタ記号を用いる。$\nabla_{j} = \dfrac{\partial }{\partial x_{j}}$とすると、
$$ \begin{align*} \left[ \nabla \times (\mathbf{A} + \mathbf{B}) \right]_{i} &= \epsilon_{ijk} \nabla_{j} (\mathbf{A} + \mathbf{B})_{k} \\ &= \epsilon_{ijk} \nabla_{j} (A_{k} + B_{k}) \\ &= \epsilon_{ijk} \nabla_{j}A_{k} + \epsilon_{ijk} \nabla_{j}B_{k} \\ &= [\nabla \times \mathbf{A}]_{i} + [\nabla \times \mathbf{B}]_{i} \\ \end{align*} $$
三番目の等号は$\dfrac{\partial (A_{k} + B_{k})}{\partial x_{j}} = \dfrac{\partial A_{k}}{\partial x_{j}} + \dfrac{\partial B_{k}}{\partial x_{j}}$であるので成り立つ。
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