三次元ユークリッド空間における外積
定義
$\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{R}^3$について次を $\mathbf{x}$と$\mathbf{y}$の外積cross productとして定義する。
$$ \begin{align*} \mathbf{x} \times \mathbf{y} =& (x_{2}y_{3} - x_{3}y_{2}, x_{3}y_{1} - x_{1}y_{3}, x_{1}y_{2} - x_{2}y_{1}) \\ =& \det \begin{bmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ x_{1} & x_{2} & x_{3} \\ y_{1} & y_{2} & y_{3} \end{bmatrix} \\ =& \begin{bmatrix} 0 & -x_{3} & x_{2} \\ x_{3} & 0 & -x_{1} \\ -x_{2} & x_{1} & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{bmatrix} \end{align*} $$
説明
ちなみに $\mathbf{i} = (1,0,0)$、$ \mathbf{j} = (0,1,0)$、$\mathbf{k} = (0,0,1)$ である。内積と同様に外積もより一般的な定義は可能だが、実用的な観点では三次元のみを考えるのが普通だ。演算の結果がベクトルであるため ベクトル積 とも呼ばれ、cross product を直訳した はさみ掛け（がさみ掛け） という名前もある。外積という名前が最も多く使われるが、これは outer product と混同されるおそれがある。
| 演算 | スカラー積(内積) | ベクトル積(がさみ掛け) | テンソル積(外積) |
|---|---|---|---|
| 次元 | $n$次元ベクトル | $3$次元ベクトル | $n$次元ベクトル |
| 表記 | $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \mathbf{u}^{\mathsf{T}} \mathbf{v}$ | $\mathbf{u} \times \mathbf{v}$ | $\mathbf{u} \otimes \mathbf{v} = \mathbf{u}\mathbf{v}^{\mathsf{T}}$ |
| 結果 | スカラー $=1 \times 1$ 行列 | $3$次元ベクトル | $n \times n$ 行列 |
| 値 | $\sum_{i} u_{i}v_{i} = u_{1}v_{1} + \cdots + u_{n}v_{n}$ | $\begin{bmatrix} u_{2}v_{3} - u_{3}v_{2} \\ u_{3}v_{1} - u_{1}v_{3} \\ u_{1}v_{2} - u_{2}v_{1} \end{bmatrix}$ | $\begin{bmatrix} u_{1}v_{1} & u_{1}v_{2} & \cdots & u_{1}v_{n} \\ u_{2}v_{1} & u_{2}v_{2} & \cdots & u_{2}v_{n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ u_{n}v_{1} & u_{n}v_{2} & \cdots & u_{n}v_{n}\end{bmatrix}$ |
最も多く使われるのはもちろん物理学で、トルクやローレンツ力などを表すときに頻繁に登場する。幾何学的な見た目も右ねじの法則を思い浮かべれば容易に想像できる。外積の性質をいくつか証明なしで紹介する。
性質
$\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z} \in \mathbb{R}^3$ と $k \in \mathbb{R}$ に対して次が成り立つ。
(1) $\mathbf{x} \times \mathbf{x} = \mathbf{0}$
(2) $\mathbf{x} \times \mathbf{y} = -\mathbf{y} \times \mathbf{x} $
(3) $(k \mathbf{x}) \times \mathbf{y} = k (\mathbf{x} \times \mathbf{y}) = \mathbf{x} \times (k \mathbf{y})$
(4) $\mathbf{x} \times ( \mathbf{y}+ \mathbf{z} )= (\mathbf{x} \times \mathbf{y}) + (\mathbf{x} \times \mathbf{z})$
(5) スカラー三重積: $(\mathbf{x} \times \mathbf{y}) \cdot \mathbf{z} = \mathbf{x} \cdot ( \mathbf{y} \times \mathbf{z})$
(6) ベクトル三重積(bac-cab公式): $\mathbf{x} \times ( \mathbf{y} \times \mathbf{z} ) = (\mathbf{x} \cdot \mathbf{z}) \mathbf{y} - (\mathbf{x} \cdot \mathbf{y}) \mathbf{z} $
(7) $\left\| \mathbf{x} \cdot \mathbf{y} \right\|^{2} = (\mathbf{x} \cdot \mathbf{x} ) ( \mathbf{y} \cdot \mathbf{y} ) - ( \mathbf{x} \cdot \mathbf{y} )^2$
(8) $\left\| \mathbf{x} \times \mathbf{y} \right\| = \left\| \mathbf{x} \right\| \left\| \mathbf{y} \right\| \sin{\theta} $
(9) $\mathbf{x} \times \mathbf{y} \ne \mathbb{0}$ であれば $\mathbf{x} \times \mathbf{y} $ は $\mathbf{x}$ と $\mathbf{y}$ に垂直である。
(10) ヤコビ恒等式: $\mathbf{x} \times (\mathbf{y} \times \mathbf{z}) + \mathbf{z} \times (\mathbf{x} \times \mathbf{y}) + \mathbf{y} \times (\mathbf{z} \times \mathbf{x}) = \mathbf{0}$
(2) は 反対称性skew symmetry または 反交換性anti commutativityと呼ぶ。
交換法則が成り立たないため直感的に受け入れにくい性質が多い。問題を解いて実際に紙に書いて慣れるようにしよう。
証明
(10)
bac-cab
性質 (6) により、
$$ \begin{align*} & \mathbf{x} \times (\mathbf{y} \times \mathbf{z}) + \mathbf{y} \times (\mathbf{z} \times \mathbf{x}) + \mathbf{z} \times (\mathbf{x} \times \mathbf{y}) \\ &= (\mathbf{x} \cdot \mathbf{z}) \mathbf{y} - (\mathbf{x} \cdot \mathbf{y}) \mathbf{z} + (\mathbf{y} \cdot \mathbf{x}) \mathbf{z} - (\mathbf{y} \cdot \mathbf{z}) \mathbf{x} + (\mathbf{z} \cdot \mathbf{y}) \mathbf{x} - (\mathbf{z} \cdot \mathbf{x}) \mathbf{y} \\ &= \big[(\mathbf{x} \cdot \mathbf{z}) \mathbf{y} - (\mathbf{z} \cdot \mathbf{x}) \mathbf{y}\big] + \big[- (\mathbf{x} \cdot \mathbf{y}) \mathbf{z} + (\mathbf{y} \cdot \mathbf{x}) \mathbf{z}\big] + \big[- (\mathbf{y} \cdot \mathbf{z}) \mathbf{x} + (\mathbf{z} \cdot \mathbf{y}) \mathbf{x}\big] \\ &= \mathbf{0} \end{align*} $$
■
直接計算
$\mathbf{x} \times (\mathbf{y} \times \mathbf{z})$を計算してみよう。
$$ \begin{align*} \mathbf{x} \times (\mathbf{y} \times \mathbf{z}) &= \begin{bmatrix} 0 & -x_{3} & x_{2} \\ x_{3} & 0 & -x_{1} \\ -x_{2} & x_{1} & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & -y_{3} & y_{2} \\ y_{3} & 0 & -y_{1} \\ -y_{2} & y_{1} & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} z_{1} \\ z_{2} \\ z_{3} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 0 & -x_{3} & x_{2} \\ x_{3} & 0 & -x_{1} \\ -x_{2} & x_{1} & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} y_{2}z_{3} - y_{3}z_{2} \\ y_{3}z_{1} - y_{1}z_{3} \\ y_{1}z_{2} - y_{2}z_{1} \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} x_{2}(y_{1}z_{2} - y_{2}z_{1}) - x_{3}(y_{3}z_{1} - y_{1}z_{3}) \\ x_{3}(y_{2}z_{3} - y_{3}z_{2}) - x_{1}(y_{1}z_{2} - y_{2}z_{1}) \\ x_{1}(y_{3}z_{1} - y_{1}z_{3}) - x_{2}(y_{2}z_{3} - y_{3}z_{2}) \end{bmatrix} \\ \end{align*} $$
したがって次を得る
$$ \begin{align*} & \mathbf{x} \times (\mathbf{y} \times \mathbf{z}) + \mathbf{y} \times (\mathbf{z} \times \mathbf{x}) + \mathbf{z} \times (\mathbf{x} \times \mathbf{y}) \\ &= \begin{bmatrix} {\color{red}x_{2}y_{1}z_{2}} {\color{blue} \ - \ x_{2}y_{2}z_{1}} {\color{green} \ - \ x_{3}y_{3}z_{1}} + {\color{orange}x_{3}y_{1}z_{3}} \\ x_{3}y_{2}z_{3} - x_{3}y_{3}z_{2} - x_{1}y_{1}z_{2} + x_{1}y_{2}z_{1} \\ x_{1}y_{3}z_{1} - x_{1}y_{1}z_{3} - x_{2}y_{2}z_{3} + x_{2}y_{3}z_{2} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} {\color{blue}y_{2}z_{1}x_{2}} {\color{magenta} \ - \ y_{2}z_{2}x_{1}} - y_{3}z_{3}x_{1} + {\color{green}y_{3}z_{1}x_{3}} \\ y_{3}z_{2}x_{3} - y_{3}z_{3}x_{2} - y_{1}z_{1}x_{2} + y_{1}z_{2}x_{1} \\ y_{1}z_{3}x_{1} - y_{1}z_{1}x_{3} - y_{2}z_{2}x_{3} + y_{2}z_{3}x_{2} \end{bmatrix} \\ & \qquad + \begin{bmatrix} {\color{magenta}z_{2}x_{1}y_{2}} {\color{red} \ - \ z_{2}x_{2}y_{1}} {\color{orange} \ - \ z_{3}x_{3}y_{1}} + z_{3}x_{1}y_{3} \\ z_{3}x_{2}y_{3} - z_{3}x_{3}y_{2} - z_{1}x_{1}y_{2} + z_{1}x_{2}y_{1} \\ z_{1}x_{3}y_{1} - z_{1}x_{1}y_{3} - z_{2}x_{2}y_{3} + z_{2}x_{3}y_{2} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \end{align*} $$
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