クロネッカーのデルタ
定義
次のように定義される$\delta_{ij}$をクロネッカーのデルタKronecker deltaという。
$$ \delta_{ij} := \begin{cases} 1,&i=j \\ 0, & i\ne j \end{cases} $$
説明
クロネッカーのデルタは非常に多くの場面で使われるが、主な役割はすべての成分(要素、可能性など)の中から望むものだけを示すことである。物理学科の学生であれば、内積の表現として主に接することになる。これが何を意味するのかピンとこないだろうから、下の例を見ながら理解してみよう。
例
まず、2つのベクトル$\mathbf{A}=(A_{1}, A_{2}, A_{3})$、$\mathbf{B}=(B_{1}, B_{2}, B_{3})$が与えられたとしよう。すると2つのベクトルの内積は次のとおりである。
$$ \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = A_{1}B_{1} + A_{2}B_{2} + A_{3}B_{3} $$
これを和記号$\sum$を使って表すと次のとおりである。
$$ \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = A_{1}B_{1} + A_{2}B_{2} + A_{3}B_{3} = \sum \limits_{i=1}^{3}A_{i}B_{i} $$
すると上の式と$\sum \limits_{i=1}^{3}\sum \limits_{j=1}^{3}\delta_{ij}A_{i}B_{j}$が同じ式であることが、次を通して分かる。
$$ \begin{align*} \sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\delta_{ij}A_{i}B_{j} &= \delta_{11}A_{1}B_{1} + \delta_{12}A_{1}B_{2} + \delta_{13}A_{1}B_{3} \\ & \quad+ \delta_{21}A_{2}B_{1} + \delta_{22}A_{2}B_{2} + \delta_{23}A_{2}B_{3} \\ & \quad+ \delta_{31}A_{3}B_{1} + \delta_{32}A_{3}B_{2} + \delta_{33}A_{3}B_{3} \\ &= 1\cdot A_{1}B_{1} + 0 \cdot A_{1}B_{2} + 0\cdot A_{1}B_{3} \\ & \quad+ 0\cdot A_{2}B_{1} + 1\cdot A_{2}B_{2} + 0\cdot A_{2}B_{3} \\ & \quad+ 0\cdot A_{3}B_{1} + 0\cdot A_{3}B_{2} + 1\cdot A_{3}B_{3} \\ &= A_{1}B_{1} + A_{2}B_{2} + A_{3}B_{3} \\ &= \sum \limits_{i=1}^{3}A_{i}B_{i} \\ &= \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} \end{align*} $$
上の結果に、一方の辺に同じインデックスが2回以上現れたら$\sum$を省略するというアインシュタインの記法を適用すると次のとおりである。
$$ \delta_{ij}A_{i}B_{j} = \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} $$
それで$\delta_{ij}A_{i}B_{j}$と$\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}$が同じだということは分かっても、なぜこのような表現を使うのかは理解できないかもしれない。上の例は非常に簡単な数式なのでその有用さが目立たないだろうが、電磁気学などで数多くのベクトルの内積や外積、グラディエント、ダイバージェンス、カール、ラプラシアンなどを計算していけば、その便利さが分かるようになるだろう。もし学部2年生なら、その便利さについて自然と分かるようになるので、今すぐ無理に納得する必要はない。
また、2つの下付き添字がどちらも同じときにだけ値があるので、下のように2つ以上のクロネッカーのデルタが掛けられていれば、当然すべての添字が同じときにだけ値がある。
$$ \delta_{ij}\delta_{jk} $$
上のような場合、$i=j=k$である場合にのみ$0$でない値が存在する。またクロネッカーのデルタは$2$階テンソルの一例である。
これを行列で表現して理解することもできる。
公式
$i,j \in \left\{ 1,2,3 \right\}$に対して次の公式が成り立つ。ここで、1つのインデックスが2回以上現れた辺には$\sum$が省略されていることを忘れないようにしよう。
(a) $\delta_{ii} = 3$
(b) $\delta_{ij}\delta_{lj} = \delta_{ij}\delta_{jl} = \delta_{il}$
(c) $\delta_{ii}\delta_{jj} = 9$
(d) $\delta_{ii}\delta_{jj} = 6 \quad (i \ne j)$
(e) $\epsilon_{ijk}\delta_{k\ell} = \epsilon_{ij\ell}$
ここで$\epsilon_{ijk}$はレビ・チビタ記号である。
証明
(a)
アインシュタインの記法によって次が成り立つ。
$$ \delta_{ii} = \sum \limits_{i=1}^{3} \delta_{ii} = \delta_{11}+\delta_{22}+\delta_{33}=3 $$
■
(b)
アインシュタインの記法によって次が成り立つ。
$$
\delta_{ij}\delta_{jl}=\sum\limits_{j=1}^{3}\delta_{ij}\delta_{jl}=\delta_{i1}\delta_{1l}+\delta_{i2}\delta_{2l}+\delta_{i3}\delta_{3l}
$$
では上の値が$0$でない場合について考えてみよう。次の3つの場合がある。
$$ i=l=1 \quad \text{and} \quad i=l=2 \quad \text{and} \quad i=l=3 $$
1つ目の場合なら次が成り立つ。
$$ \delta_{i1}\delta_{1l} = 1 \quad \text{and} \quad \delta_{i2}\delta_{2l}=\delta_{i3}\delta_{3l} = 0 \\ \implies \delta_{ij}\delta_{jl} = \delta_{i1}\delta_{1l}+\delta_{i2}\delta_{2l}+\delta_{i3}\delta_{3l} = 1 $$
2つ目の場合なら次が成り立つ。
$$ \delta_{i2}\delta_{2l} = 1 \quad \text{and} \quad \delta_{i1}\delta_{1l}=\delta_{i3}\delta_{3l} = 0 \\ \implies \delta_{ij}\delta_{jl} = \delta_{i1}\delta_{1l}+\delta_{i2}\delta_{2l}+\delta_{i3}\delta_{3l} = 1 $$
3つ目の場合なら次が成り立つ。
$$ \delta_{i3}\delta_{3l} = 1 \quad \text{and} \quad \delta_{i1}\delta_{1l}=\delta_{i2}\delta_{2l} = 0 \\ \implies \delta_{ij}\delta_{jl} = \delta_{i1}\delta_{1l}+\delta_{i2}\delta_{2l}+\delta_{i3}\delta_{3l} = 1 $$
したがって$\delta_{ij}\delta_{jl}$は$i=l$のときだけ値が$1$であり、それ以外の場合はすべて値が$0$なので、次の結果を得る。
$$ \delta_{ij}\delta_{jl} = \delta_{il} $$
■
(c)
アインシュタインの記法により$\sum$が省略されているので次のとおりである。
$$ \begin{align*} \delta_{ii}\delta_{jj} &= \sum\limits_{i=1}^{3}\sum\limits_{j=1}^3{\delta_{ii}\delta_{jj}} \\ &= \sum\limits_{i=1}^{3}{\delta_{ii} \sum\limits_{j=1}^3\delta_{jj}} \\ &= 3\cdot 3 \\ &= 9 \end{align*} $$
3つ目の等号は**(a)** によって成り立つ。
■
(d)
アインシュタインの記法により$\sum$が省略されているので次のとおりである。
$$ \begin{align*} \delta_{ii}\delta_{jj} &= \sum\limits_{i=1}^{3}\sum\limits_{\substack{j=1 \\ j\ne i}}^{3}{\delta_{ii}\delta_{jj}} \\ &= \delta_{11}\delta_{22} +\delta_{11}\delta_{33} +\delta_{22}\delta_{11} +\delta_{22}\delta_{33}+\delta_{33}\delta_{11}+\delta_{33}\delta_{22} \\ &= 6 \end{align*} $$
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(e)
アインシュタインの記法により$k$についての$\sum$が省略されているので次のとおりである。
$$ \epsilon_{ijk}\delta_{k\ell} = \sum\limits_{k=1}^{3} \epsilon_{ijk}\delta_{k\ell} = \epsilon_{ij1}\delta_{1\ell} + \epsilon_{ij2}\delta_{2\ell} + \epsilon_{ij3}\delta_{3\ell} $$
クロネッカーのデルタは2つの添字が同じときにだけ値が$1$であり、それ以外の場合は$0$なので、上の3つの項のうち$k = \ell$である項1つだけが残る。$\ell$が取りうる値によって分けて書くと次のとおりである。
$$ \begin{align*} \ell = 1 &: \quad \epsilon_{ij1} \cdot 1 + \epsilon_{ij2} \cdot 0 + \epsilon_{ij3} \cdot 0 = \epsilon_{ij1} \\ \ell = 2 &: \quad \epsilon_{ij1} \cdot 0 + \epsilon_{ij2} \cdot 1 + \epsilon_{ij3} \cdot 0 = \epsilon_{ij2} \\ \ell = 3 &: \quad \epsilon_{ij1} \cdot 0 + \epsilon_{ij2} \cdot 0 + \epsilon_{ij3} \cdot 1 = \epsilon_{ij3} \end{align*} $$
3つの場合すべてで残る値が$\epsilon_{ij\ell}$なので、次の結果を得る。
$$ \epsilon_{ijk}\delta_{k\ell} = \epsilon_{ij\ell} $$
同じ論法はレビ・チビタ記号の位置にどんな添字を持つ対象が来ても、そのまま通用するので、デルタとの縮約は結局その添字を$k$から$\ell$に変える役割をする。
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