変数分離法を用いた球座標系における方位角に依存しないラプラス方程式の解法
定理
球座標系において方位角対称性azimuthal symmetryがあるときのラプラス方程式の一般解は次の通りである。
$$ V(r,\theta) = \sum \limits_{l=0} ^\infty \left( A_{l} r^l + \dfrac{B_{l}}{r^{l+1} } \right) P_{l}(\cos \theta) $$
証明
段階 0
電位を求めるとき、境界条件boundary conditionが球座標系で表現しやすい場合には、球座標系に対するラプラス方程式を解かなければならない。球座標系におけるラプラス方程式は次の通りである。(参考1、参考2)
$$ \nabla ^2 V = \dfrac{1}{r} \dfrac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \dfrac{\partial V}{\partial r} \right) +\dfrac{ 1}{r^2 \sin \theta } \dfrac{ \partial}{\partial \theta} \left( \sin \theta \dfrac{ \partial V}{\partial \theta }\right) + \dfrac{1}{r^2 \sin ^2 \theta} \dfrac{ \partial ^2 V}{\partial \phi^2 }=0 $$
このとき電位$V$が$\phi$に依存しない関数だとしよう。言い換えると、他の値は同じで$\phi$だけが変わるときには$V$の値が変わらないという仮定である。すると$\phi$に対する$V$の変化量が$0$であり、これは$\dfrac{\partial V}{\partial \phi}=0$なので三番目の項が消える。
$$ \dfrac{1}{r} \dfrac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \dfrac{ \partial V}{\partial r} \right) +\dfrac{ 1}{r^2 \sin \theta } \dfrac{ \partial}{\partial \theta} \left( \sin \theta \dfrac{ \partial V}{\partial \theta }\right)=0 \tag{1} $$
電位$V(r, \theta)$が変数分離可能な関数だと仮定する。$V$が$r$のみの関数$R(r)$と$\theta$のみの関数$\Theta (\theta) $の積からなると仮定するということである。$V(r,\theta)=R(r) \Theta (\theta)$を$(1)$に代入し、両辺を$V$で割って整理すると、次のような形になる。
$$ \dfrac{1}{R} \dfrac{d}{d r} \left( r^2 \dfrac{d R}{d r} \right) +\dfrac{ 1}{ \Theta \sin \theta } \dfrac{ d}{d \theta} \left( \sin \theta \dfrac{ d \Theta}{d \theta }\right) = 0 $$
各項が$r$と$\theta$のみに依存するので、両項ともに定数である。$r$の値が変わっても第二項と右辺の値は変わらない。したがって第一項の値も常に同じでなければならず、これは定数項だということである。第二項も同じ理由で定数項である。
$$ \dfrac{1}{R} \dfrac{d}{d r} \left( r^2 \dfrac{d R}{d r} \right) =l(l+1) $$
$$ \dfrac{ 1}{\Theta \sin \theta } \dfrac{d}{d \theta} \left( \sin \theta \dfrac{d \Theta }{d \theta }\right) = -l(l+1) $$
$(1)$の複雑な偏微分方程式が、簡単な常微分方程式2個に変わった。それぞれの微分方程式を解いて$R(r)$と$\Theta (\theta)$を求めて掛ければ、我々が望む$V(r,\theta)$を得ることになる。
段階 1
$$ \dfrac{d}{dr} \left( r^2 \dfrac{dR}{dr} \right) = l(l+1) R $$ $$ \implies 2r \dfrac{dR}{dr} +r^2 \dfrac{d^2 R}{dr^2} =l(l+1)R $$
$$\implies r^2 \dfrac{d^2 R}{dr^2} + 2r\dfrac{dR}{dr} - l(l+1)R=0$$
これはオイラー方程式の形であり、解法はここで確認できるが、本稿ではより簡単に解く。上の微分方程式の解が$r^k$の形で出るという事実を用いて、最初の行に$R=r^k$を代入する。すると
$$ \dfrac{ d}{dr} \left( r^2 \dfrac{ d r^k}{dr} \right) = l(l+1)r^k$$ $$ \implies \dfrac{d}{dr} (k r^{k+1} ) = l(l+1) r^k$$ $$ \implies k(k+1)r^k=l(l+1)r^k $$ $$ \therefore k(k+1)=l(l+1) $$ $$ \implies k^2+ k -l(l+1)=0$$
根の公式を使うと$k=l$あるいは$k=-(l+1)$である。したがって$r^l$と$\dfrac{1}{r^{l+1} }$が微分方程式の解である。一般解は二つの解の線形結合なので$R(r)=Ar^l + \dfrac{B}{r^{l+1} }$、$A,B$は定数。
段階 2
$$ \dfrac{d}{d\theta} \left( \sin \theta \dfrac{d \Theta }{d \theta} \right) =-l(l+1)\sin \theta \Theta $$
$\theta$に対する微分方程式の解法は難しいので結果のみ紹介する。詳しい解法を知りたければここを参考にせよ。上の微分方程式の解は$\cos \theta $に対するルジャンドル多項式である。
$$ \Theta (\theta) = P_{l}( \cos \theta) $$
このとき$P_{l}(x)$は次の通りである。
ロドリゲスの公式 $$ P_{l}(x) := \dfrac{1}{2^l l!} \left( \dfrac{d}{dx} \right) ^l (x^2-1)^l $$
l$は正の整数、$P_{0}(x)=1$
上の公式に従って計算したルジャンドル多項式は次の通りである。
$$P_{0}(x) =1$$ $$P_{1}(x)=x$$ $$P_2(x) = \dfrac{3x^2-1}{2}$$ $$P_{3}(x) = \dfrac{5x^3 -3x}{2}$$ $$\vdots$$
2階微分方程式なので2個の解を求めなければならないが、各$l$値に対して一つの解しかない。残りの二番目の解は$\theta=0$と$\theta=\pi$で発散するため、物理的な意味のある解ではない。したがってルジャンドル多項式による一番目の解のみを考慮すればよい。
段階 3.
段階 1 と 段階 2 の結果を総合すると、電位は
$$ V(r,\theta) =\left( Ar^l ++ \dfrac{B}{r^{l+1}} \right) P_{l}( \cos \theta) $$
このとき各$l$値ごとに解が一つずつあるので、一般解はこれらをすべて合わせたものである。
$$ V(r,\theta) = \sum \limits_{l=0} ^\infty \left( A_{l} r^l + \dfrac{B_{l}}{r^{l+1} } \right) P_{l}(\cos \theta) $$
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