ヒルベルト空間

内積空間^{inner product space}とヒルベルト空間^{Hilbert space}について扱います。

内積空間

• 内積空間とは
  • 内積に関連するノルムの性質
  • 内積は連続写像である
  • 内積空間、ノルム空間、距離空間の関係
• コーシー・シュワルツの不等式
• 内積空間における0の性質
• 直交性、直交集合、正規直交集合
• フーリエ係数、フーリエ級数

ヒルベルト空間

• ヒルベルト空間
• 最短ベクトルの定理
• 直交分解定理
• ヒルベルト空間は反射的である
• 弱収束

汎関数

• リースの表現定理

線形作用素

• 随伴作用素
• 随伴作用素の性質
• 直交射影
• ヒルベルト空間から$\ell^{2}$空間への随伴作用素

ベッセル系列

• ベッセル系列
• 密な部分空間を持つヒルベルト空間のベッセル系列
• 一般化されたベッセルの不等式

直交基底

• ベクトル空間のリオーダリング
• 可分ヒルベルト空間のグラム・シュミット正規直交化
• 可分ヒルベルト空間は$\ell^{2}$空間と等距離同型である
• 正規直交基底とユニタリ作用素
• リース基底
• フレーム

関数空間

• 様々な関数空間
• 関数のサポートと連続関数空間のクラス
• ヘルダー連続関数空間

主要参考文献

• ウォルター・ルーディン, Real and Complex Analysis (第3版, 1987)
• ジェラルド・B・フォランド, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications (第2版, 1999)
• ロバート・A・アダムスとジョン・J・F・フートニエ, Sobolev Space (第2版, 2003)
• オーレ・クリステンセン, Functions, Spaces, and Expansions: Mathematical Tools in Physics and Engineering (2010)