📂ヒルベルト空間

関数解析学におけるヒルベルト空間

定義¹

完備な内積空間をヒルベルト空間^{hilbert space}という。ヒルベルトの名にちなんで、主に$H$と表記する。

説明

完備空間とは、すべてのコーシー数列が収束する空間をいう。バナッハ空間も完備空間なので、ヒルベルト空間を内積が与えられたバナッハ空間として説明することもできる。例としては次のような空間がある。

• ルベーグ空間 $L^{2}$
• $\ell^{2}$ 空間
• 実数空間 $\mathbb{R}^{n}$
• 複素数空間 $\mathbb{C}^{n}$

性質

• ヒルベルト空間は一様に凸である
• 最短ベクトル定理
• 直交分解定理
• リース表現定理