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実数体から複素数体を作り出す代数的方法 📂抽象代数

実数体から複素数体を作り出す代数的方法

定理 1

R[x]/<x2+1>≃C \mathbb{R} [x ] / \left< x^2 + 1 \right> \simeq \mathbb{C}

説明

事実だけを見れば明らかで、実数体から複素数体を作り出す過程は非常に美しい。

R[x]\mathbb{R} [x ] を <x2>\left< x^2 \right> に切るか <x2+x>\left< x^2 + x \right> に切るかに関わらず、要素の形は ax+bax + b の形になるだろうが、わざわざ <x2+1>\left< x^2 + 1 \right> に切る理由がある。少なくとも一度は自分で証明して、この美しさを楽しんでみよう。

証明

(x2+1)\left( x^2 + 1 \right) は FF 上の素元であるため、<x2+1>\left< x^2 + 1 \right> は R[x]\mathbb{R} [ x ] の極大イデアルであり、したがってR[x]/<x2+1>\mathbb{R} [x ] / \left< x^2 + 1 \right> は体である。

R\mathbb{R} の拡大体 R[x]/<x2+1>\mathbb{R} [x ] / \left< x^2 + 1 \right> は、その要素として (ax+b)+<x2+1>(ax + b) + \left< x^2 + 1 \right> のような剰余類を持つ。これら全ての要素が a,b∈Ra,b \in \mathbb{R} とある α\alpha に関して a+bαa + b \alpha のように表されるため、 R[x]/<x2+1>=R(α) \mathbb{R} [x ] / \left< x^2 + 1 \right> = \mathbb{R} ( \alpha ) は単純拡大体である。

具体的に α:=x+<x2+1>\alpha := x + \left< x^2 + 1 \right> と言えば、 α2=(x+<x2+1>)2  ⟹  α2+1=(x2+<x2+1>)+(1+<x2+1>)  ⟹  α2+1=(x2+1)+<x2+1>=<x2+1>=0+<x2+1> \begin{align*} & \alpha^2 = \left( x + \left< x^2 + 1 \right> \right)^2 \\ \implies& \alpha^2 + 1 = \left( x^2 + \left< x^2 + 1 \right> \right) + \left( 1 + \left< x^2 + 1 \right> \right) \\ \implies& \alpha^2 + 1 = \left( x^2 + 1 \right) + \left< x^2 + 1 \right> = \left< x^2 + 1 \right> = 0 + \left< x^2 + 1 \right> \end{align*} α\alpha は (x2+1)\left( x^2 + 1 \right) の零なので、実質的に α\alpha が虚数 ii と同じ役割を果たし、次が成立する。 R(α)≃C \mathbb{R} ( \alpha ) \simeq \mathbb{C}

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  1. Fraleigh. (2003). A first course in abstract algebra(7th Edition): p272. ↩︎