📂抽象代数

抽象代数学における無限巡回群

定義 ¹

対称群の部分群 $D_{n} \leqslant S_{n}$ を $n$角形に対して回転や反転する順列のみを含む群と定義し、これを二面体群^{dihedral group}と呼ぶ。

説明

図形から派生したものなので、言葉だけでは説明が難しい。

$D_{3} = S_{3}$

最小の二面体群の例としては、対称群 $D_{3} = S_{3}$ がある。

$| D_{n} | =2n$

このような順列は $n$角形に対して $2n$ 個存在することが比較的容易に想像できるだろう。例えば、四角形に基づいて作られた $D_{4}$ は元が $8$ 個あり、八元群^{octic group}という別名でも呼ばれる。

上の図に示されているように、$D_{4}$ の元には $\mu_{1}, \mu_{2}, \delta_{1}, \delta_{2}$ と回転 $\rho_{0} , \rho_{1} , \rho_{2} , \rho_{3}$ が存在する。