メトリック空間におけるコンパクト性
📂距離空間メトリック空間におけるコンパクト性
定義
オープンカバー
距離空間(X,d)と部分集合E⊂Xが与えられたとする。下の式を満たすXの開集合の集合{Oα}をEのオープンカバーopen coverと呼ぶ。
E⊂α⋃Oα
オープンカバーの部分集合を部分カバーと呼ぶ。特に要素が有限個の部分カバーを有限部分カバーと呼ぶ。
コンパクト
距離空間Xの部分集合Kが与えられたとする。もしKのすべてのオープンカバーが有限部分カバーを持つなら、Kがコンパクトcompactであると言う。つまり、オープンカバーから有限個だけ選んでもまだオープンカバーになる場合、Kをコンパクトであると呼ぶ。もう一度言い換えると、式で表現するとあるα1,⋯,αnに対して
K⊂Oα1∪⋯Oαn
が成立するなら、Kがコンパクトである。
説明
コンパクトが重要な理由は、全体空間を何にするかによって、その集合がコンパクトという性質を得たり失ったりするからである。つまりコンパクトはその集合が持つ固有の性質という意味である。遠くない例で、開という概念を見ても、全体空間を拡張するときに開いているという性質が保持される保証がないので、相対的に開いているという表現がある。勉強を続けると、コンパクトという条件が様々な定理で重要な役割を果たすことがわかる。コンパクトは全体空間と無関係に集合に与えられる性質であることを以下の定理で確認できる。まずはK⊂Xが全体空間Xに対してコンパクトであるとき、Xでコンパクトであると表現しよう。
定理
二つの距離空間X、Yに対してK⊂Y⊂Xとする。そのとき、以下の二つの命題は同値である。
(a) KはXでコンパクトである。
(b) KはYでコンパクトである。
証明
補題
二つの距離空間X、Yが与えられたとする。そしてE⊂Y⊂Xとする。そのとき、以下の二つの命題は同値である。(d)EがYに対して相対的に開いている。(e)Xのある開集合OXに対してE=Y∩OXが成立する。
(a)から(b)
KがXでコンパクトであると仮定する。{OαY}をK⊂⋃αOαYを満たすYで開いている集合の集合とする。言い換えると、{OαY}をKのYに対する任意のオープンカバーとする。すると補題により
OαY=Y∩OαX,∀α
を満たすXで開いている集合OαXが存在する。すると{OαX}はKのXに対するオープンカバーになる。すると仮定によりあるα1,⋯,αnに対して以下の式が成立する。
K⊂Oα1X∪⋯∪OαnX
しかしK⊂Yであるので、次が成立する。
K⊂Y∩(Oα1X∪⋯∪OαnX)=(Y∩Oα1X)∪⋯∪(Y∩OαnX)=Oα1Y∪⋯∪OαnY
従って、KのYに対する任意のオープンカバー{OαY}の有限部分カバーが
K⊂Oα1Y∪⋯∪OαnY
を満たすので、KはYでコンパクトである。
(b)から(a)
KがYでコンパクトであると仮定する。{OαX}をK⊂⋃αOαXを満たすXで開いている集合の集合とする。つまり、KのXに対する任意のオープンカバーとする。そしてOαYを以下のように設定する。
OαY=Y∩OαX,∀α
すると補題により▷eq63
◁はYで開いている集合になる。従って{OαY}はKのオープンカバーである。すると仮定によりあるα1,⋯,αnに対して以下の式が成立する。
K⊂Oα1Y∪⋯∪OαnY
しかし、各αに対してOαY⊂OαXであるので、次が成立する。
K⊂Oα1X∪⋯∪OαnX
従って、Kの任意のオープンカバーが常に有限部分カバーを持つので、KはXでコンパクトである。
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