📂ルベーグ空間

ルベーグ空間におけるヘルダーの不等式の証明

定理¹

$\Omega \subset \mathbb{R}^{n}$を開集合としよう。次の式を満たす二つの定数$1 \lt p \lt \infty, 1 \lt p^{\prime} \lt \infty$が与えられたとしよう。

$$ \dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{p^{\prime}} = 1 \left(\text{or } p^{\prime} = \frac{p}{p-1} \right) $$

もし$u \in L^p(\Omega)$、$v\in L^{p^{\prime}}(\Omega)$ならば$uv \in L^1(\Omega)$であり、以下の不等式が成り立つ。

$$ \| uv \|_{1} = \int_{\Omega} |u(x)v(x)| dx \le \| u \|_{p} \| v \|_{p^{\prime}} $$

上の不等式をヘルダーの不等式^{hölder’s inequality}という。

説明

$p^{\prime}$は$p$のヘルダー共役^{hölder conjugate}あるいは共役指数^{conjugate exponent}という。$q$と表記されることも多い。

$| u(x) |^{p}$と$| v(x) |^{p^{\prime}}$が$\Omega$のほとんど至る所で比例関係にあれば等式が成り立つ。

本質的にはユークリッド空間におけるヘルダーの不等式と同じであり、$p=p^{\prime}=2$のときにコーシー・シュワルツの不等式になるのも同様だ。証明自体はコーシー・シュワルツの不等式の証明にヤングの不等式が追加されただけである。

次のような形での一般化も可能である。

$$ \| uv \|_{r} = \left( \int_{\Omega} |u(x)v(x)|^{r} dx \right)^{1/r} \le \| u \|_{p} \| v\|_{p^{\prime}} $$

$$ \| u \|_{r} = \left( \int_{\Omega} |u(x)|^{r} dx \right)^{1/r} \le \prod_{j=1}^{N} \| u_{j} \|_{{p}_j} = \| u_{1} \|_{{p}_1} \cdots \| u_{N} \|_{p_{N}} $$

証明

ヤングの不等式

$\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{p^{\prime}} = 1$を満たし1より大きい二つの定数$p, p^{\prime}$と二つの正の数$a,b$に対して

$$ ab \le { {a^{p}} \over {p} } + {{b^{p^{\prime}}} \over {p^{\prime}}} $$

• Case 1. $\| u \|_{p} = 0$または$\| v \|_{p^{\prime}} = 0$の場合

  $\Omega$のほとんど至る所で$u(x) = 0$であるか、$\Omega$のほとんど至る所で$v(x) = 0$であるから、$\Omega$のほとんど至る所で$u(x)v(x) = 0$である。したがって

  $$ \left| \int_{\Omega} u(x) v(x) dx \right| = \| uv \|_{1} = 0 $$

  であり

  $$ \| u \|_{p} \| v \|_{p^{\prime}} = 0 $$

  であるから、不等式を満たす。

• Case 2. それ以外の場合

  ヤングの不等式に$a = \dfrac{\left| u(x) \right|}{\| u \|_{p}}$と$b = \dfrac{\left| v(x) \right|}{\| v \|_{p^{\prime}}}$を代入しよう。すると

  $$ \dfrac{\left| u(x) \right|}{\| u \|_{p}} \dfrac{\left| v(x) \right|}{\| v \|_{p^{\prime}}} \le \dfrac{ \left| u(x) \right|^{p}}{ p \| u \|_{p}^{p}} + \dfrac{\left| v(x) \right|^{p^{\prime}}}{ p^{\prime} \| v \|_{p^{\prime}}^{p^{\prime}}} $$

  両辺を積分すると次のようになる。

  $$ \begin{align*} \dfrac{1}{\| u \|_{p} \| v \|_{p^{\prime}}} \int_{\Omega}\left| u(x)v(x) \right| dx \le & \dfrac{1}{p \| u \|_{p}^{p}} \int_{\Omega} \left| u(x) \right|^{p} dx + \dfrac{1}{ p^{\prime} \| v \|_{p^{\prime}}^{p^{\prime}}} \int_{\Omega} \left| v(x) \right|^{p^{\prime}} dx \\ \le & \dfrac{1}{p \| u \|_{p}^{p}} \| u \|_{p}^{p} + \dfrac{1}{ p^{\prime} \| v \|_{p^{\prime}}^{p^{\prime}}} \| v \|_{p^{\prime}}^{p^{\prime}} \\ \le & \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{ p^{\prime} } \\ =& 1 \end{align*} $$

  左辺の定数を移項すると

  $$ \| uv \|_{1} = \int_{\Omega} |u(x)v(x)| dx \le \| u \|_{p} \| v \|_{p^{\prime}} $$

  したがって$uv \in L^{1}(\Omega)$であり、不等式が成り立つ。

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関連リンク

• ユークリッド空間におけるヘルダーの不等式
• 一般化されたヘルダーの不等式