数理物理学

ガンマ関数、ベッセル関数、ルジャンドル多項式などの特殊関数に関する内容は「関数」カテゴリーで確認できます。

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座標系

ベクトル解析

数学的な厳密さは少し緩め、3次元に限定して物理学、工学専攻者レベルのベクトル解析を扱います。一般的な多変数解析、ベクトル解析は多変数ベクトル解析カテゴリーで扱います。

ベクトル解析では、スカラー関数 $f = f(x,y,z)$ とベクトル関数 $\mathbf{f}(x,y,z) = \left( f_{1}, f_{2}, f_{3} \right)$ について扱います。ただし、物理学ではベクトル関数という表現よりも、単にベクトルと言うことも多いです。

物理学でスカラー関数としてよく使用される記法には、$T, V, U, \phi, \psi$ などがあります。スカラー関数はスカラー場^{scalar field}とも呼ばれます。

$$T = T(x,y,z)$$

数式的には $T(x,y,z)=2xy+z^{2}$ のように表される関数であり、具体的な例として温度が挙げられます。3次元空間のある座標 $(x,y,z)$ が与えられた場合、その場所の温度はスカラー値なので、温度はスカラー関数として表されます。

ベクトル関数としてよく使用される記法には、$\mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{v}$ などがあります。ベクトル関数はベクトル場^{vector field}とも呼ばれます。

$$ \mathbf{A} = \mathbf{A}(x,y,z) = (A_{x}, A_{y}, A_{z}) = A_{x}\hat{\mathbf{x}} + A_{y}\hat{\mathbf{y}} + A_{z}\hat{\mathbf{z}} $$

数式的には $\mathbf{A}(x,y,z) = \left( xy, 2y^{2}, 3xyz \right) = xy\hat{\mathbf{x}} + 2y^{2}\hat{\mathbf{y}} + 3xyz\hat{\mathbf{z}}$ のように表される関数であり、具体的な例として速度が挙げられます。3次元空間で動いているある物体の座標 $(x,y,z)$ が与えられた場合、その場所での物体の速度は3次元ベクトルなので、速度はベクトル関数として表されます。

しかし、物理学ではベクトル関数の変数が時間 $t$ に依存する場合を多く扱います。このときは次のように一変数ベクトル関数の形で表されます。$\mathbf{x}(t) = (x_{1}(t), x_{2}(t), x_{3}(t) )$ とすると、

$$ \mathbf{A} (t) = \mathbf{A}(\mathbf{x}(t)) = \mathbf{A}(x_{1}(t), x_{2}(t), x_{3}(t) ) = \left( A_{1}(t), A_{2}(t), A_{3}(t) \right) $$

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