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数理物理学

ガンマ関数、ベッセル関数、ルジャンドル多項式などの特殊関数に関する内容は「関数」カテゴリーで確認できます。

基本

座標系

ベクトル解析

数学的な厳密さは少し緩め、3次元に限定して物理学、工学専攻者レベルのベクトル解析を扱います。一般的な多変数解析、ベクトル解析は多変数ベクトル解析カテゴリーで扱います。

ベクトル解析では、スカラー関数 f=f(x,y,z)f = f(x,y,z) とベクトル関数 f(x,y,z)=(f1,f2,f3)\mathbf{f}(x,y,z) = \left( f_{1}, f_{2}, f_{3} \right) について扱います。ただし、物理学ではベクトル関数という表現よりも、単にベクトルと言うことも多いです。

物理学でスカラー関数としてよく使用される記法には、T,V,U,ϕ,ψT, V, U, \phi, \psi などがあります。スカラー関数はスカラー場scalar fieldとも呼ばれます。

T=T(x,y,z)T = T(x,y,z)

数式的には T(x,y,z)=2xy+z2T(x,y,z)=2xy+z^{2} のように表される関数であり、具体的な例として温度が挙げられます。3次元空間のある座標 (x,y,z)(x,y,z) が与えられた場合、その場所の温度はスカラー値なので、温度はスカラー関数として表されます。

ベクトル関数としてよく使用される記法には、A,B,v\mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{v} などがあります。ベクトル関数はベクトル場vector fieldとも呼ばれます。

A=A(x,y,z)=(Ax,Ay,Az)=Axx^+Ayy^+Azz^ \mathbf{A} = \mathbf{A}(x,y,z) = (A_{x}, A_{y}, A_{z}) = A_{x}\hat{\mathbf{x}} + A_{y}\hat{\mathbf{y}} + A_{z}\hat{\mathbf{z}}

数式的には A(x,y,z)=(xy,2y2,3xyz)=xyx^+2y2y^+3xyzz^\mathbf{A}(x,y,z) = \left( xy, 2y^{2}, 3xyz \right) = xy\hat{\mathbf{x}} + 2y^{2}\hat{\mathbf{y}} + 3xyz\hat{\mathbf{z}} のように表される関数であり、具体的な例として速度が挙げられます。3次元空間で動いているある物体の座標 (x,y,z)(x,y,z) が与えられた場合、その場所での物体の速度は3次元ベクトルなので、速度はベクトル関数として表されます。

しかし、物理学ではベクトル関数の変数が時間 tt に依存する場合を多く扱います。このときは次のように一変数ベクトル関数の形で表されます。x(t)=(x1(t),x2(t),x3(t))\mathbf{x}(t) = (x_{1}(t), x_{2}(t), x_{3}(t) ) とすると、

A(t)=A(x(t))=A(x1(t),x2(t),x3(t))=(A1(t),A2(t),A3(t)) \mathbf{A} (t) = \mathbf{A}(\mathbf{x}(t)) = \mathbf{A}(x_{1}(t), x_{2}(t), x_{3}(t) ) = \left( A_{1}(t), A_{2}(t), A_{3}(t) \right)

ベクトル代数

ベクトル微分

ベクトル積分

テンソル解析

テンソル

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