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옌센 부등식의 적분 폼 증명

정리

컨벡스 함수 $\phi : [a,b] \to \mathbb{R}$ 와 $f: [0,1] \to [a,b]$ 에 대해, $\phi \circ f$ 이 $[0,1]$ 에서 적분가능하면 $$\phi \left( \int_{0}^{1} f(x) dx \right) \le \int_{0}^{1} (\phi \circ f ) (x) dx$$

설명

당연하지만 주어진 조건만 만족한다면 치환 등을 통해서 적분 구간 역시 바꿀 수 있다. 유한 폼이 정의를 이용해 항의 갯수를 일반화 한 것과 달리 적분 폼은 함수가 적분 기호를 넘나드는 부등식이 된다.

증명

적분의 평균값 정리에 의해 어떤 상수 $c$ 에 대해 $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) dx = c \in (a,b)$ 로 둘 수 있다. $c$ 의 정의에 따라 $$\phi \left( \int_{0}^{1} f(x) dx \right) = \phi (c) + s \left( \int_{0}^{1} f(x) dx - c \right)$$ 위 등식은 모든 $s \in \mathbb{R}$ 에 대해 성립하므로 $$\displaystyle s = \sup_{x \in [a,c) } {{\phi (c) - \phi (x)} \over {c -x}}$$ 로 정의해도 상관없다. $[c, y] \subset [a,b]$ 를 만족하는 $y$ 에 대해 $\displaystyle {{f(x) - f(c)} \over {x - c}} \le {{f(y) - f(x) } \over {y - x}}$ 이므로 $$s \le {{\phi (y) - \phi (c)} \over {y- c}}$$ 이다. 위에서 얻은 식을 다시 정리하면 $$\phi (c) + s (y - c) \le \phi (y)$$ 이다. 한편, $[y, c] \subset [a,b]$ 인 경우는 $$s \ge {{\phi (c) - \phi (y)} \over {c - y}}$$ 즉 모든 $y \in [a,b]$ 에 대해 $\phi (c) + s (y - c) \le \phi (y)$ 이 성립하고 $[a,b]$ 는 $f$ 의 치역이므로, $y = f(x)$ 로 둘 수 있어서 다음을 얻는다. $$\phi (c) + s ( f(x) - c) \le \phi ( f(x) )$$ 양변에 $\displaystyle \int_{0}^{1}$ 을 취하면 $$\int_{0}^{1} \left\{ \phi (c) + s ( f(x) - c) \right\} dx \le \int_{0}^{1} (\phi (f (x) ) dx$$ 이고, 정리하면 $$\phi \left( \int_{0}^{1} f(x) dx \right) + s \int_{0}^{1} f(x) dx - s c \le \int_{0}^{1} (\phi \circ f) (x) dx$$ 마지막으로 $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) dx = c$ 이었으므로 $\displaystyle s \int_{0}^{1} f(x) dx - s c = 0$ 이고, 우리가 원하던 다음 부등식을 얻는다. $$\phi \left( \int_{0}^{1} f(x) dx \right) \le \int_{0}^{1} (\phi \circ f) (x) dx$$

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같이보기

• 옌센 부등식의 유한 폼
• 옌센 부등식의 기댓값 폼