📂푸리에해석

리만적분가능한 함수의 푸리에 급수는 수렴한다

정리¹

함수 $f$가 구간 $[-L,\ L)$에서 리만적분가능하다고 하자. 그러면 연속인 점 $t$에 대해서 $f$의 푸리에 급수 $\lim \limits_{N \to \infty }S^{f}_{N}(t)$는 $f(t)$로 수렴한다.

$$ \lim \limits_{N \rightarrow \infty} S^{f}_{N}(t)=f(t) $$

이때

$$ \begin{align*} S^{f}_{N}(t)&=\dfrac{a_{0}}{2}+\sum \limits_{n=1}^{N} \left( a_{n} \cos \dfrac{n\pi t}{L} + b_{n}\sin\dfrac{n\pi t} {L} \right) \\ a_{0} &=\dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(t)dt \\ a_{n} &= \dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(t)\cos\dfrac{n\pi t}{L} dt \\ b_{n}&=\dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(t)\sin\dfrac{n\pi t}{L}dt \end{align*} $$

증명

전략: $\left| \lim \limits_{N \rightarrow \infty} S^{f}_{N}(t)-f(t) \right|=0$임을 보임으로써 증명을 마친다.

푸리에 급수와 디리클레 커널의 관계

$$ S^{f}_{N}(t)=\dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)D_{N}\left(\dfrac{\pi (x-t)}{L}\right)dx $$

위와 같은 사실로부터 다음의 식을 얻는다.

$$ \begin{equation} \lim \limits_{N \rightarrow \infty} S^{f}_{N}(t)-f(t) =\lim \limits_{N \rightarrow \infty} \dfrac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x)D_{N}\left( \dfrac{\pi (x-t)}{L}\right)dx -f(t) \end{equation} $$

디리클레 커널의 적분

$$ \dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L}D_{N}\left( \dfrac{\pi (x-t)}{L} \right)dx=1 $$

위 식의 양변에 $f(t)$를 곱하면 다음의 식을 얻는다.

$$ \dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(t) D_{N}\left( \dfrac{\pi (x-t)}{L} \right)dx = f(t) $$

이를 $(1)$에 대입하고 정리하면 다음과 같다.

$$ \begin{align*} &\lim \limits_{N \rightarrow \infty} S^{f}_{N}(t)-f(t) \\ &= \lim \limits_{N \rightarrow \infty} \dfrac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x)D_{N}\left( \dfrac{\pi (x-t)}{L}\right)dx -f(t) \\ &= \lim \limits_{N \rightarrow \infty} \dfrac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x)D_{N}\left( \dfrac{\pi (x-t)}{L}\right)dx -\dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(t) D_{N}\left( \dfrac{\pi (x-t)}{L}\right)dx \\ &= \lim \limits_{N \rightarrow \infty} \dfrac{1}{L} \int_{-L}^{L} \Big[ f(x)-f(t) \Big] D_{N}\left( \dfrac{\pi (x-t)}{L}\right)dx \end{align*} $$

여기서 $x-t=\lambda$로 치환하면 다음과 같다.

$$ \begin{equation} \lim \limits_{N \rightarrow \infty} \dfrac{1}{L} \int_{-L-t}^{L-t} \Big[ f(\lambda+t)-f(t) \Big] D_{N}\left( \dfrac{\pi \lambda}{L} \right)d\lambda \end{equation} $$

$f(x)$가 $t$에서 연속이므로 정의에 의해서 $s,t\in [-L,\ L)$, $\varepsilon >0$에 대해서 다음을 만족하는 $\delta>0$가 존재한다.

$$ \begin{equation} \exists \delta>0\quad \text{s.t. } \left| s-t \right|<\delta \implies \left| f(s)-f(t) \right| <\varepsilon \end{equation} $$

디리클레 핵은 디랙델타함수로 수렴한다 $$ \lim \limits_{n \to \infty} D_{n}(t)=\delta (t) $$

그리고 위 사실로 인해서 고정된 양수 $\delta>0$에 대해서 $|x|>\delta$이고 $N \gt n$일 때 $\left| D_{N}\left( \dfrac{\pi x}{L} \right) \right| \lt \varepsilon$이 되는 자연수 $n$이 존재한다.

$$ \begin{equation} \exists n\in \mathbb{N}\quad \text{s.t. } \left| x \right| > \delta,\ N>n \implies \left| D_{N} \left( \frac{\pi x}{L} \right) \right| < \varepsilon \end{equation} $$

또한 $f(x)$가 리만적분가능하다고 가정했으므로 유계이다. 따라서 $|f(t)| < M$을 만족하는 실수 $M$이 존재한다.

$$ \begin{equation} \exists M\quad \text{s.t. } \left| f(t) \right| <M \end{equation} $$

이제 $(2)$의 적분범위를 나누면 아래의 부등식을 얻는다.

$$ \begin{align*} &| \lim \limits_{N \rightarrow \infty} S^{f}_{N}(t)-f(t)| \\ &= \lim \limits_{N \rightarrow \infty} \left| \dfrac{1}{L} \int_{-L-t}^{L-t} \left[ f(\lambda+t)-f(t) \right] D_{N}\left( \dfrac{\pi \lambda}{L}\right)d\lambda \right| \\ &\le \lim \limits_{N \rightarrow \infty} \dfrac{1}{L} \left[ \left|\int_{-\delta}^{\delta} \left[ f(\lambda+t)-f(t) \right] D_{N}\left( \dfrac{\pi \lambda}{L}\right) d\lambda \right| +\left| \int_{\lambda \notin[-\delta,\delta]} \left[ f(\lambda+t)-f(t) \right] D_{N}\left( \dfrac{\pi \lambda}{L}\right) d\lambda \right| \right] \end{align*} $$

여기서 첫번째 항에 $(3)$ 조건을 쓰고, 두번째 항에 $(4)$, $(5)$ 조건을 사용하면 다음과 같다.

$$ \begin{align*} &\lim \limits_{N \rightarrow \infty} \dfrac{1}{L} \left[ \left|\int_{-\delta}^{\delta} {\color{red} \left[ f(\lambda+t)-f(t) \right] } D_{N}\left( \dfrac{\pi \lambda}{L}\right) d\lambda \right| +\left| \int_{\lambda \notin[-\delta,\delta]} {\color{blue} \left[ f(\lambda+t)-f(t) \right]} {\color{orange}D_{N}\left( \dfrac{\pi \lambda}{L}\right) } d\lambda \right| \right] \\ &\le \lim \limits_{N \rightarrow \infty} \dfrac{1}{L} \left[ \left|\int_{-\delta}^{\delta} {\color{red} \epsilon} D_{N}\left( \dfrac{\pi \lambda}{L}\right) d\lambda \right| + {\color{blue}2M} {\color{orange}\epsilon} \right] \\ &= \lim \limits_{N \rightarrow \infty} \dfrac{\epsilon}{L} \left( \left|\int_{-\delta}^{\delta} D_{N}\left( \dfrac{\pi \lambda}{L}\right) d\lambda \right| +2M \right) \\ &= \varepsilon^{\prime} \end{align*} $$

위 식은 모든 $\varepsilon >0$에 대해서 성립해야하므로, 모든 $\varepsilon^{\prime}>0$에 대해서 성립해야 하는 것과 같다. 따라서 다음의 식을 얻는다.

$$ \left| \lim \limits_{N \rightarrow \infty} S^{f}_{N}(t)-f(t) \right|=0 $$

그러므로 $f$의 푸리에 급수는 연속인 점 $t$에서 $f$로 수렴한다.

$$ \lim \limits_{N \rightarrow \infty} S^{f}_{N}(t) = \dfrac{1}{2}a_{0}+\sum \limits_{n=1}^{\infty}\left( a_{n}\cos\dfrac{n\pi t}{L}+b_{n}\sin\dfrac{n\pi t}{L} \right) = f(t) $$

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