📂동역학

푸앙카레 재귀 정리 증명

정리

유클리드 공간에서 정의된 다차원 맵 $g : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{n}$ 이 단사면서 연속이고 $D \subset \mathbb{R}^{n}$ 이 컴팩트 불변집합, 다시 말해 $g(D) = D$ 라고 하자. 임의의 $\overline{x} \in D$ 의 임의의 근방을 $U$ 라고 하면 어떤 $n \in$ 에 대해 $g^{n} (x) \in U$ 가 되게끔 하는 $x \in U$ 가 존재한다.

설명

스테이트먼트는 단순한데, $D$ 가 컴팩트 불변집합이면 그 안에서 $U$ 를 잡았을 때 $U$ 에서 잠깐은 벗어날 수 없어도 결국은 돌아오고 마는 타이밍이 있다는 것이다. 이는 첫번째, 두번째, 세번째… 계속해서 적용할 수 있으므로 $x \in U$ 는 아무리 $g$ 를 통해 $U$ 를 떠나도 반드시 $U$ 로 돌아오게 되어있다.

증명 ¹

다음과 같이 $U$ 에 $g$ 를 반복적으로 취하는 것을 생각해보자. $$U , g (U), g^{2} (U) , \cdots , g^{n} (U) , \cdots$$ 전제에서 $g$ 는 단사였으므로 이들의 볼륨을 정확하게 보존하는데, 이들이 겹치지 않는다면 이들을 포함하고 있는 $D$ 는 무한한 볼륨을 가진다. 그러나 전제에서 $D$ 는 컴팩트이므로 어떤 $k >l$ 에 대해서 $$g^{k} (U) \cap g^{l} (U) \ne \emptyset$$ 역상을 취하면 $$g^{k-l} \left( U \right) \cap U \ne \emptyset$$ 이므로 $n := k - l$ 에 대해 $x \in U$ 과 $g^{n} (x) \in U$ 를 동시에 만족하는 $x$ 가 존재한다.

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