에르미트 함수
정의
에르미트 함수는 다음과 같다. $$ \begin{align} y_{n} &= \left( D-x \right)^{n} e^{-\frac{x^{2}}{2}} \\ &=e^{\frac{x^{2}}{2}} D^{n} e^{-x^{2}} \end{align} $$ 이때 $D=\frac{d}{dx}$는 미분 연산자이다.
설명
에르미트 함수는 미분 방정식 $$ y_{n}^{\prime \prime}-x^{2}y_{n}=-(2n+1)y_{n},\quad n=0,1,2,\cdots $$ 의 해이며 물리학에서 1차원 조화진동자 슈뢰딩거 방정식의 해이다. 즉 1차원 조화 진동자의 파동함수이다. $(1)$은 미분 방정식을 풀어서 직접 얻을 수 있다. $(2)$가 $(1)$과 같음은 다음의 정리를 통해서 쉽게 보일 수 있다.
정리
임의의 $f(x)$에 대해서 $$ \begin{align} (D-x)^{n}f(x)=e^{\frac{x^{2}}{2}}D^{n}\left[ e^{-\frac{x^{2}}{2}}f(x) \right] ,\quad n=0,1,2,\cdots \end{align} $$ 가 성립한다.
위 식이 성립하면 $f(x)=e^{-\frac{x^{2}}{2}}$를 대입함으로써 $(1)$과 $(2)$가 같음을 보일 수 있다.
증명
Part 1 $n=0$일 때 성립함을 증명 $$ (D-x)^{0}f(x)=f(x)=e^{\frac{x^{2}}{2}}D^{0}\left[ e^{-\frac{x^{2}}{2}}f(x) \right] $$
Part 2 $n$일 때 성립하면 $n+1$일 때도 성립함을 증명
$n$일 때 성립한다고 가정하자. 그럼 $n+1$일 때 $(3)$의 우변은 $$ \begin{align*} e^{\frac{x^{2}}{2}}D^{n+1} \left[ e^{-\frac{x^{2}}{2}}f(x) \right] &=e^{\frac{x^{2}}{2}}D^{n} D\left[ e^{-\frac{x^{2}}{2}}f(x) \right] \\ &=e^{\frac{x^{2}}{2}}D^{n} \left[ -xe^{-\frac{x^{2}}{2}}f(x) +e^{-\frac{x^{2}}{2}}Df(x)\right] \\ &=e^{\frac{x^{2}}{2}}D^{n} \left[ e^{-\frac{x^{2}}{2}}(D-x)f(x) \right] \end{align*} $$ 여기서 $(D-x)f(x)=g(x)$로 치환하면 $$ \begin{align*} e^{\frac{x^{2}}{2}}D^{n+1} \left[ e^{-\frac{x^{2}}{2}}f(x) \right] &=e^{\frac{x^{2}}{2}}D^{n} \left[ e^{-\frac{x^{2}}{2}}(D-x)f(x) \right] \\ &=e^{\frac{x^{2}}{2}}D^{n} \left[ e^{-\frac{x^{2}}{2}}g(x) \right] \\ &= (D-x)^{n}g(x) \\ &= (D-x)^{n}(D-x)f(x) \\ &= (D-x)^{n+1}f(x) \end{align*} $$ 세번째 등호는 $n$일 때 성립한다고 가정했으므로 성립한다.
Part 3.
$n=0$일 때 성립하고, $n$일 때 성립하면 $n+1$일 때도 성립하므로 수학적 귀납법에 의해 모든 $n=0,1,2,\cdots$에 대해서 $(3)$이 성립한다.
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