📂数値解析

一貫性を持つマルチステップ法の収束性とルート条件

定理

マルチステップ法が一貫性を持つとすれば、その方法は収束性を持つ $\iff$ その方法はルート条件を満たす

説明

閉区間$[x_{0} , b]$に対して$h$を単位として分割してノードポイントを作るとき、$x_{0} \le x_{1} \le \cdots \le x_{N(h) -1} \le x_{N(h) } \le b$とする。ここで$N(h)$は$h$に応じて変わる最後のノードポイントのインデックスを表す。

方法が収束性を持つとは、$h \to 0$のとき$\displaystyle \eta (h) : = \max_{0 \le n \le p} | Y_{n} - y_{ n} | \to 0$ならば、$h \to 0$のとき$\displaystyle \max_{x_{0} \le x_{n} \le b } | Y_{n} - y_{ n} | \to 0$になるということである。

証明¹

一貫性を持つマルチステップ法: 初期値問題 $\begin{cases} y ' = f(x,y) \\ ( y( x_{0} ) , \cdots , y(x_{p}) ) = (Y_{0}, \cdots , Y_{p} ) \end{cases}$ に対してマルチステップ法 $$ y_{n+1} = \sum_{j=0}^{p} a_{j} y_{n-j} + h \sum_{j = -1}^{p} b_{j} f (x_{n-j} , y_{n-j} ) $$ は次を満たす。 $$ \begin{cases} \displaystyle \sum_{j = 0}^{p} a_{j} = 1 \\ \displaystyle - \sum_{j = 0}^{p} j a_{j} + \sum_{j = -1}^{p} b_{j} = 1 \end{cases} $$

ルート条件: 一貫性を持つマルチステップ法に対して$\displaystyle \rho ( r) = r^{p+1} - \sum_{j=0}^{p} a_{j} r^{p-j}$とする。方程式$\rho (r ) = 0$の根$r_{0} , \cdots , r_{p}$が次の条件を満たすとき、与えられたマルチステップ法はルート条件^{root condition}を満たすという。

• (i): $| r_{j} | \le 1$
• (ii): $|r_{j}| = 1 \implies \rho ‘(r_{j}) \ne 0$

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$(\Rightarrow)$

方法が収束性を持つにもかかわらずルート条件を満たさないと仮定してみよう。この仮定に対して初期値問題 $\begin{cases} y ' = 0 \\ y(0) = 0 \end{cases}$ が反例になることを示す。

与えられた問題の真の解は自明に、すべての$n \ge 0$に対して$Y_{n} = 0$である。

そして$f = 0$なので数値解は$\displaystyle y_{n+1} = \sum_{j=0}^{p} a_{j} y_{n - j}$である。その中でも$y_{0} , \cdots , y_{p}$が$h \to 0$のとき $$ \eta (h) = \max_{0 \le n \le p} | Y_{n} - y_{ n} | = \max_{0 \le n \le p} | y_{ n} | \to 0 $$ を満たすとしよう。このとき、ある$0 \le j \le p$に対して次の二つの場合を考えてみよう。

• Case 1.
  (i)を満たさず、$ j$に対して$|r_{j}| > 1$である場合、$\displaystyle y_n = h r_{j} ^n$は$h \to 0$のとき $$ \eta (h) = \max_{0 \le n \le p} | y_{ n} | = h \left| r_{j} \right| ^{p} \to 0 $$ を満たす。しかし$h \to 0$のとき$N(h) \to \infty$なので $$ \max_{x_{0} \le x_{n} \le b} | Y_{n} - y_{ n} | = h \left| r_{j} \right| ^{N (h) } \to \infty $$ 従って方法は収束性を持たない。
• Case 2.
  (ii)を満たさず、$ j$に対して$|r_{j}| = 1 \implies \rho’(r_{j}) = 0$である場合、これは$|r_{j}| = 1$ならば$r_{j}$が特性方程式の重根であるという意味で、重根である$r_{j}$が少なくとも一つ存在する。従って特殊解$n r_{j}^{n}$が存在して、$\displaystyle y_n = h n r_{j} ^n$は$h \to 0$のとき $$ \eta (h) = \max_{0 \le n \le p} | y_{ n} | = h p \left| r_{j} \right| ^{p} \to 0 $$ を満たし、$\displaystyle y_n = h \left[ r_{j} (0) \right]^n$は$h \to 0$のとき $$ \eta (h) = \max_{0 \le n \le p} | y_{ n} | = h \left| r_{j} (0) \right| ^{p} \to 0 $$ を満たす。しかし$h \to 0$のとき $$ \max_{x_{0} \le x_{n} \le b} | Y_{n} - y_{ n} | = h \left| r_{j} (0) \right| ^{N (h) } \to \infty $$ 従って方法は収束性を持たない。

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$(\Leftarrow)$ 元の証明があまりにも難しいので、多くの飛躍がある²。

$e_{n} : = Y_{n} -y_{n}$とすれば、非同次線形微分方程式$Y = y + e$を解くことと考えられる。

逆に$y = Y - e$は同次線形微分方程式になる。 $$ \begin{align} y_{n+1} = \sum_{j=0}^{p} a_{j} y_{n-j} + h \sum_{j = -1}^{p} b_{j} f (x_{n-j} , y_{n-j} ) \end{align} $$

$$ \begin{align} Y_{n+1} = \sum_{j=0}^{p} a_{j} Y_{n-j} + h \sum_{j = -1}^{p} b_{j} f (x_{n-j} , Y_{n-j} ) \end{align} $$ $(1)$から$(2)$を引くと $$ e_{n+1} = \sum_{i=0}^{n} a_{j} e_{n-j} + h \sum_{j= -1}^{p} b_{j} \left[ f(x_{n-j} , Y_{n- j }) - f(x_{n-j} , y_{n- j }) \right] $$ を得る。$Y_{n} = d_{0} s_{0}^{n} + d_{1} s_{1}^{n} + \cdots + d_{p} s_{p}^{n}$とすれば $$ e_{n} = g_{0} ( r_{0} + s_{0} )^n + g_{1} ( r_{1} + s_{1} )^n + \cdots + g_{p} ( r_{p} + s_{p} )^n $$ 与えられた方法は$N \ge p$のとき $$ e_{N} = g_{0} ( r_{0} + s_{0} )^N + g_{1} ( r_{1} + s_{1} )^N + \cdots + g_{p} ( r_{p} + s_{p} )^N $$ の$( r_{0} + s_{0} ) , \cdots , ( r_{p} + s_{p} )$に対してもルート条件を満たすので、 $$ \begin{align*} | e_{N} | & =& | g_{0} | | r_{0} + s_{0} |^N + | g_{1} | | r_{1} + s_{1} | ^N + \cdots + | g_{p} | | r_{p} + s_{p} |^N \\ \le & \max_{0 \le n \le p} | Y_{ n} - y_{n} | \end{align*} $$ ここで$h \to 0$のとき$\displaystyle \max_{0 \le n \le p} | Y_{ n} - y_{n} | \to 0$であることを仮定すれば$e_{N} \to 0$なので $$ \max_{x_{0} \le x_{n} \le b} | Y_{n} - y_{ n} | = h \left| r_{j} (0) \right| ^{N (h) } \to 0 $$ でなければならず、従って方法は収束性を持つ。

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