수치해석에서의 에르미트 다항함수
정의
다음의 두 함수를 에르미트 다항함수라 한다.
확률론자의 에르미트 다항함수
$$ H_{e_{n}} := (-1)^{n} e^{{x^2} \over {2}} {{d^{n}} \over {dx^{n}}} e^{- {{x^2} \over {2}}} $$
물리학자의 에르미트 다항함수
$$ H_{n} := (-1)^{n} e^{x^2} {{d^{n}} \over {dx^{n}}} e^{-x^2} $$
기초 성질
에르미트 다항함수는 두가지 꼴이 쓰이며, $H_{n} (x) = 2^{{n} \over {2}} H_{e_{n}} \left( \sqrt{2} x \right)$ 와 같은 관계를 갖는다.
재귀 공식
- [0]: $$H_{n+1} (x) = 2x H_{n} (x) - H_{n} ' (X)$$
직교 집합
- [1] 함수의 내적: $\displaystyle \left<f, g\right>:=\int_a^b f(x) g(x) w(x) dx$ 에 대해 웨이트 $w$ 를 $\displaystyle w(x) := e^{-x^2}$ 와 같이 주면 $\left\{ H_{0} , H_{1}, H_{2}, \cdots \right\}$ 은 직교 집합이 된다.
설명
$n = 0, \cdots , 3$ 에 대한 물리학자의 에르미트 다항함수는 다음과 같이 나타난다.
$$ \begin{align*} H_{0} (x) =& 1 \\ H_{1} (x) =& 2x \\ H_{2} (x) =& 4 x^2 - 2 \\ H_{3} (x) =& 8 x^3 - 12x \end{align*} $$
$H_{n} ( x_{k} ) = 0$ 을 만족시키는 에르미트 노드 $x_{k}$ 의 클로즈드 폼은 아쉽게도 알려져 있지 않으며, 현재도 수치적으로 계산하고 있다.