n次導関数のラプラス変換
📂微分方程式n次導関数のラプラス変換
定理
以下の2つの条件を仮定する。
- 任意の区間 0≤t≤Aにおいて、関数 f, f′, ⋯, f(n−1)が連続であり、n階導関数 f(n)(t)が部分的に連続であるとする。
- t≥Mのとき、∣f(t)∣≤Keat, ∣f′(t)∣≤Keat, ⋯, ∣f(n−1)(t)∣≤Keatを満たす実数 aと正の数 K, Mが存在する。
すると、fのn階導関数のラプラス変換 L{f(n)(t)}が s>aのときに存在し、その値は以下のようになる。
L{f(n)(t)}=snL{f(t)}−sn−1f(0)−sn−2f′(0)−⋯−sf(n−2)(0)−f(n−1)(0)
説明
1階導関数の結果を繰り返し適用すれば、容易に導くことができる。
証明
2階導関数
L{f′′(t)}=sL{f′(t)}−f′(0)=s(sL{f(t)}−f(0))−f′(0)=s2L{f(t)}−sf(0)−f′(0)
3階導関数
L{f(3)(t)}=sL{f′′(t)}−f′′(0)=s(s2L{f(t)}−sf(0)−f′(0))−f′′(0)=s3L{f(t)}−s2f(0)−sf′(0)−f′′(0)
したがって、上記のプロセスを繰り返すと、n階導関数のラプラス変換を次のように求めることができる。
L{f(n)(t)}=snL{f(t)}−sn−1f(0)−sn−2f′(0)−⋯−sf(n−2)(0)−f(n−1)(0)
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参照