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n次導関数のラプラス変換 📂微分方程式

n次導関数のラプラス変換

定理1

以下の2つの条件を仮定する。

  1. 任意の区間 0tA0 \le t \le Aにおいて、関数 ff, ff^{\prime}, \cdots, f(n1)f^{(n-1)}が連続であり、n階導関数 f(n)(t)f^{(n)}(t)部分的に連続であるとする。
  2. tMt \ge Mのとき、f(t)Keat|f(t)| \le Ke^{at}, f(t)Keat|f^{\prime}(t)| \le Ke^{at}, \cdots, f(n1)(t)Keat|f^{(n-1)}(t)| \le Ke^{at}を満たす実数 aaと正の数 KK, MMが存在する。

すると、ffのn階導関数のラプラス変換 L{f(n)(t)}\mathcal{L} \left\{ f^{(n)}(t) \right\}s>as>aのときに存在し、その値は以下のようになる。

L{f(n)(t)}=snL{f(t)}sn1f(0)sn2f(0)sf(n2)(0)f(n1)(0) \mathcal {L} \left\{ f^{(n)}(t) \right\} = s^n\mathcal {L} \left\{ f(t) \right\} -s^{n-1}f(0)- s^{n-2}f^{\prime}(0) -\cdots -sf^{(n-2)}(0)-f^{(n-1)}(0)

説明

1階導関数の結果を繰り返し適用すれば、容易に導くことができる。

証明

  • 2階導関数

    L{f(t)}=sL{f(t)}f(0)=s(sL{f(t)}f(0))f(0)=s2L{f(t)}sf(0)f(0) \begin{align*} \mathcal{L} \left\{ f^{\prime \prime}(t) \right\} &= s\mathcal{L} \left\{ f^{\prime}(t) \right\} -f^{\prime}(0) \\ &= s\Big( s\mathcal{L} \left\{ f(t) \right\} -f(0) \Big) -f^{\prime}(0) \\ &= s^2\mathcal{L} \left\{ f(t) \right\} -sf(0) -f^{\prime}(0) \end{align*}

  • 3階導関数 L{f(3)(t)}=sL{f(t)}f(0)=s(s2L{f(t)}sf(0)f(0))f(0)=s3L{f(t)}s2f(0)sf(0)f(0) \begin{align*} \mathcal{L} \left\{ f^{(3)}(t) \right\} &= s\mathcal{L} \left\{ f^{\prime \prime}(t) \right\} -f^{\prime \prime}(0) \\ &= s\Big( s^2\mathcal{L} \left\{ f(t) \right\} -sf(0) -f^{\prime}(0) \Big) -f^{\prime \prime}(0) \\ &= s^3\mathcal{L} \left\{ f(t) \right\} -s^2f(0) -sf^{\prime}(0) -f^{\prime \prime}(0) \end{align*}

したがって、上記のプロセスを繰り返すと、n階導関数のラプラス変換を次のように求めることができる。

L{f(n)(t)}=snL{f(t)}sn1f(0)sn2f(0)sf(n2)(0)f(n1)(0) \mathcal {L} \left\{ f^{(n)}(t) \right\} = s^n\mathcal {L} \left\{ f(t) \right\} -s^{n-1}f(0)- s^{n-2}f^{\prime}(0) -\cdots -sf^{(n-2)}(0)-f^{(n-1)}(0)

参照


  1. William E. Boyce, Boyce’s Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (11th Edition, 2017), p249 ↩︎