2025年夏のお任せ：想像上の数
紹介
二次方程式 $x^{2} + 1 = 0$ の解 $i$ を ‘想像上の数’という意味で虚数と呼ぶが、実際のところ無理数が認められていなかった時代から、数というものは本質的に想像上の存在だった。今シーズンは複素数の世界について軽く学んでみよう。
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教科書よりは深く、学部の複素解析よりは浅い線で準備しました。
幾何
$$ \sinh z := { {e^{z} - e^{-z}} \over 2 } \\ \cosh z := { {e^{z} + e^{-z}} \over 2 } $$ 双曲線関数は普通、学部の新入生あたりで上記のように奇怪な形態に出会いますが、特異な定義は別にして、なぜこれらを「ハイパーボリックサイン」、「ハイパーボリックコサイン」と呼ぶのか受け入れにくいことがあります。 $$ \sin z = { {e^{iz} - e^{-iz}} \over 2 i } \\ \cos z = { {e^{iz} + e^{-iz}} \over 2 } $$ しかし、オイラーの公式 $e^{i \theta} = \cos \theta + i \sin \theta$ からわかるように指数関数と三角関数の関係を見れば、次のようにサインとコサインもまた指数関数の線形結合で表せることがわかります。そうすると実際には、双曲線関数は純虚数の軸で三角関数と同様の役割を果たし、その命名と表記が合理的であることを納得できます。
- [1] サイン: $$\sin{(\theta +\frac { n }{ 2 }\pi )}={ \sin }^{ (n) }\theta$$
- [2] コサイン: $$\cos{(\theta +\frac { n }{ 2 }\pi )}={ \cos }^{ (n) }\theta$$
ここで三角関数の微分について考えるとさらに面白く、オイラーの公式の両辺を $\theta$ で微分すると次が得られます。
$$ \begin{align*} i e^{i \theta} =& \left( \cos \theta \right)^{\prime} + i \left( \sin \theta \right)^{\prime} \\ =& \cos \left( \theta + {\frac{ \pi }{ 2 }} \right) + i \sin \left( \theta + {\frac{ \pi }{ 2 }} \right) \\ =& -\sin \theta + i \cos \theta \end{align*} $$
この結果から、二つの興味深い点を観察できます:
- 微分しなくても、両辺に $i$ を掛けると微分した結果と同じである。
- $i$ を掛けることは $\frac{\pi}{2}$ だけ回転することと同じである。
これは相対的に複雑な微分を掛け算という簡単な演算で導き出したものであり、複素平面上での回転も虚数を掛けることで表せることを示しています。
計算
引き続き微分の話をすると、さらに一般的な関数 $f$ の微分係数を数値的に求めるために複素ステップ微分という方法を考えることができます。 $$ f ' (x) \approx \frac{\im \left( f \left( x + i h \right) \right)}{h} $$ この方法は「関数値の差の極限」という一般的な発想とは異なり、関数値の評価evaluationが一回のみ必要という利点があり、関数を形式的にテイラー展開してそのうち虚部だけを取る方式で導出されます。 $$ f \left( x + i h \right) = f (x) + i h f ' (x) - h^{2} {\frac{ f '' (x) }{ 2! }} - i h^{3} {\frac{ f ''' (x) }{ 3!s }} + \cdots \\ \implies \im f \left( x + i h \right) = h f ' (x) - h^{3} {\frac{ f ''' (x) }{ 3!s }} + \cdots \\ \implies {\frac{ 1 }{ h }} \im f \left( x + i h \right) \approx f ' (x) $$ 我々が興味を持っているのは $f ' (x)$ なので、虚部だけ残し、十分に小さいと仮定できる項を捨てると、望んでいた公式が得られます。このような計算で得られるのは厳密に実数微分係数であり、計算過程で登場する複素数は消えてしまっています。
このように実部と虚部を分けて考える戦略は、複素解析と全く無関係と思われる問題で、容易に見つけることができます。例えば、次のような定積分をフレネル積分と呼びますが、見た目に反して基礎的なテクニックで計算するのはほとんど不可能に近いです。 $$ \int_{0}^{\infty} \cos x^2 dx = \int_{0}^{\infty} \sin x^2 dx = {{1}\over{2}} \sqrt{{\pi}\over{2}} $$ しかし、複素解析ではこれを経路積分の問題に変えて迂回する戦略を使用し、原始関数を直接探す手間を省いて定積分を直ちに求めることができます。複素解析の真の力を感じたいなら、フレネル積分を手で直接計算してみてください。
代数
多項式は単純で我々がよく知っている関数であり、テイラー定理によればどんな連続関数でも多項式を通じて近似でき、その重要度は高いです。多項式に関連する最も有名な定理である代数学の基本定理は、次数が $n$ の多項式が重根を含めて正確に $n$ 個の根を持つという内容で、数学全般のほぼすべての分野で当然の常識として使用される事実です。興味深いことに、ほとんどの教科書で代数学の基本定理は純粋代数的なツールではなく、複素解析的な証明を採用しています。
このように全く関係なさそうに見える分野で複素数が登場する他の例としては、ガウス整数環 $\mathbb{Z}[i]$ があります。ガウス整数環は複素平面上の格子点から成り立っており、そこから一歩進んでアイゼンシュタイン整数環 $\mathbb{Z}[\omega]$ は $x^{3} + 1$ の複素根 $\omega = e^{2 \pi i / 3}$ によって得られる $\mathbb{Z}$ の代数的拡張です。
複素数はこのように単純な活用を超えて、数学そのものの理論をさらに豊かにしてくれます。もしこれまで電子工学や信号解析などの先行科目で実用的な複素数にしか接してこなかったなら、この夏休みには純粋な楽しみのために複素数を学んでみてはどうでしょうか？