サドルノード分岐
定義
易しい定義
サドルノード分岐saddle-node bifurcationは、力学系のパラメータ変化に伴って固定点が生成あるいは消滅する分岐である1。
難しい定義
$$ \dot{x} = f \left( x , r \right) \qquad , x \in \mathbb{R}^{n} , r \in \mathbb{R}^{1} $$ 与えられた力学系の$f$が$x$と$\alpha$についてスムーズであるとしよう。$\bar{x}$がこのシステムの双曲的な固定点であるとするとき、そのヤコビ行列$D f \left( \bar{x} \right)$の固有値のうちの一つを$\lambda_{k}$としよう。$\lambda_{k} = 0$が現れたり消えたりすることに関連する分岐をサドルノード分岐という2。
ノーマルフォーム
サドルノード分岐は、次のノーマルフォームを持つ: $$ \dot{x} = r + x^{2} $$
ダイアグラム
サドルノード分岐の分岐ダイアグラムは次のようになる:
説明
サドルノード分岐は、分岐を説明する際に最も代表的なものとして真っ先に言及される。フォールド分岐fold bifurcationあるいはタンジェント分岐tangent bifurcationあるいはブルースカイ分岐blue sky bifurcationとも呼ばれ、特にその分岐点をターニングポイントturning pointあるいは限界点limit pointと呼ぶこともある。
フォールド？
分岐ダイアグラムで見られるように、曲線が折りたたまれる形状であるために付けられた愛称である。特にこれはヒステリシス現象と関連する文脈でより効果的なワーディングである。
ブルースカイ？
文字どおり青空(晴天)から雷が落ちるように固定点が突然生じるため使われうる表現である3。分岐ダイアグラムで$r > 0$だったところから$r$を徐々に減少させる方向を考えてみると、従来は固定点がなかったのが$r = 0$でサドルノードが突然登場する。