📂抽象代数

抽象代数学における根基と零根基

定義 ¹

$N$ を $R$ のイデアルとする。

1. $\text{rad} N := \left\{ a \in R \ | \ a^n \in N \right\}$ を $N$ のラディカル^radicalと言う。
2. $a^{n} = 0$ を満たす $n \in \mathbb{N}$ が存在する場合、$a$ を ニルポテント^nilpotentと言う。
3. ニルポテントな要素の集合 $\text{nil} R := \left\{ a \in R \ | \ a^n = 0 \right\}$ を $R$ のニルラディカル^nilradicalと言う。

説明

$N$ のラディカルを$\sqrt{N}$、$R$ のニルラディカルを$\sqrt{0}$ と表示する。$\sqrt{N}$ の要素をある程度乗じると$N$ の要素を作り出せるという点で、十分に合理的な表現と考えられる。

以下の二つの定理は、イデアルが必要な場合に、具体的に $\sqrt{N}$ と $\sqrt{0}$ を定めることができる点で便利である。ラディカルとニルラディカルはかなり強い条件を満たしており、扱いやすい。

定理

$R$ が可換環であるとする。

• [1]: $\sqrt{N}$ は $R$ のイデアルである。
• [2]: $\sqrt{0}$ は $R$ のイデアルである。

証明

[1]

$R$ が可換環で、$N$ がイデアルであるから、$r \in R$、$a \in N$ に対して $$ ra \in N \\ r^{n} \in R $$ そして、$a^{n} \in N$ に対して $$ r^{n} a^{n} = (ra)^{n} \in \sqrt{N} $$ 従って、 $$ r \sqrt{N} = \sqrt{N} r \subset \sqrt{N} $$ これから、$( \sqrt{N} , + )$ が $R$ の部分群であることを示せばよいが、単位元と逆元の存在だけをチェックすればいい。

• (ii): $0^{n} \in N$ であるため、$0$ が $\sqrt{n}$ の単位元として存在する。
• (iii): すべての $a$ に対して $(-a)^{n} = (-1)^{n} a^{n} \in N$ であるため、$-a \in \sqrt{N}$ が $a$ の逆元として存在する。

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[2]

$R$ が可換環であるため、$r \in R$、$a \in \sqrt{0}$ に対して $$ (ra)^{n} = r^{n} a^{n} = 0 $$ そして、$ra \in r \sqrt{0}$ であるため $$ r \sqrt{0} = \sqrt{0} r \subset \sqrt{0} $$ これから、$( \sqrt{0} , + )$ が $R$ の部分群であることを示せばよいが、単位元と逆元の存在だけをチェックすればいい。

• (ii): $0^{1} = 0$ であるため、$0$ が $\sqrt{0}$ の単位元として存在する。
• (iii): すべての $a$ に対して $(-a)^{n} = (-1)^{n} a^{n} = 0$ であるため、$-a \in \sqrt{0}$ が $a$ の逆元として存在する。

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