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ヴァンデルモンド行列の行列式の導出 📂行列代数

ヴァンデルモンド行列の行列式の導出

定義

異なる 1,x1,x2,⋯ ,xn1, x_{1} , x_{2 } , \cdots , x_{n} に対して、次のように定義された行列 VnV_{n} をヴァンデルモンド行列vandermonde matrixという。

Vn:=[1x1x12⋯x1n−11x2x22⋯x2n−1⋮⋮⋮⋱⋮1xnxn2⋯xnn−1] V_{n} := \begin{bmatrix} 1 & x_{1} & x_{1}^{2} & \cdots & x_{1}^{n-1} \\ 1 & x_{2} & x_{2}^{2} & \cdots & x_{2}^{n-1} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & x_{n} & x_{n}^{2} & \cdots & x_{n}^{n-1} \end{bmatrix}

公式

VnV_{n} の行列式は

det⁡Vn=∏1≤i<j≤n(xj−xi) \det V_{n} = \prod_{1 \le i < j \le n } (x_{j} - x_{i})

説明

ヴァンデルモンド行列は特徴的な形をしているが、意外にも微分方程式の数値解析で出てくるなど、よく見ることが多い。

1,x1,x2,⋯ ,xn1, x_{1} , x_{2 } , \cdots , x_{n} が異なるという仮定から ∏1≤i<j≤n(xj−xi)≠0\displaystyle \prod_{ 1 \le i < j \le n } (x_{j} - x_{i}) \ne 0 であり、VnV_{n} の可逆性が保証される。この事実は主に連立方程式 w=Vnu\mathbf{w} = V_{n} \mathbf{u} の唯一解が存在することを示すのに使われる。

導出

策略：様々な方法で示せるが、特に数学的帰納法を使った証明を紹介する。この証明は数学的な知識がある程度必要だが、行操作などをしないため、計算が少なくて済むし、スッキリしていていい。途中で出てくる因数定理と代数学の基本定理は重要な事実だが、証明の文脈では重要ではないので、知らなくても大丈夫だ。

命題 P(n):det⁡Vn=∏1≤i<j≤n(xj−xi)\displaystyle P(n) : \det V_{n} = \prod_{ 1 \le i < j \le n } (x_{j} - x_{i}) を定義しよう。

**パート1. n=1,2n=1,2

P(1):det⁡V1=∣1∣=1P(2):det⁡V2=∣1x11x2∣=x2−x1 P(1) : \det V_{1} = | 1 | = 1 \\ P(2) : \det V_{2} = \left| \begin{matrix} 1 & x_{1} \\ 1 & x_{2} \end{matrix} \right| = x_{2} - x_{1}

したがって、P(n)P(n) は n=1,2n=1,2 の時に成り立つ。

**パート2. n=kn=k

P(k):det⁡Vk=∏1≤i<j≤k(xj−xi)\displaystyle P(k) : \det V_{k} = \prod_{1 \le i < j \le k } (x_{j} - x_{i}) が成り立つと仮定しよう。

**パート3. n=k+1n=k+1

k+1k+1 番目の変数として xx を追加した以下のヴァンデルモンド行列を新たに定義してみよう。

Vk’:=[1x1x12⋯x1k⋮⋮⋮⋱⋮1xkxk2⋯xkk1xx2⋯xk] V_{k}’ := \begin{bmatrix} 1 & x_{1} & x_{1}^{2} & \cdots & x_{1}^{k} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & x_{k} & x_{k}^{2} & \cdots & x_{k}^{k} \\ 1 & x & x^{2} & \cdots & x^{k} \end{bmatrix}

正方行列 An×n=(aij)A_{n \times n} = (a_{ij}) の ii 番目と jj 番目の行を取り除いた行列の行列式 MijM_{ij} と余因子 Cij:=(−1)i+jMijC_{ij} := (-1)^{i + j} M_{ij} を定義しよう。選択された ii 行に対して、det⁡A=∑j=1naijCij\displaystyle \det A = \sum_{j=1}^{n} a_{ij} C_{ij}

(k+1)(k+1) 行を選択すると、ラプラス展開により Vk′V_{k} ' の行列式は

det⁡Vk′=1C(k+1)1+xC(k+1)2+x2C(k+1)3+⋯+xkC(k+1)(k+1) \det V_{k} ' = 1 C_{(k+1)1} + x C_{(k+1)2} + x^2 C_{(k+1)3} + \cdots + x^{k} C_{(k+1)(k+1)}

として、xx に対する kk 次の多項式 f(x)f(x) で表される。ここで、xx に x1,⋯ ,xkx_{1} , \cdots , x_{k} を代入してみると行列 Vk′V_{k} ' に完全に同じ二行ができるので、行列式は 00 になる。多項式 f(x)f(x) を使って言い換えると

f(x1)=⋯=f(xk)=0 f(x_{1}) = \cdots = f(x_{k}) = 0

因数定理と代数学の基本定理により、f(x)f(x) はある定数 CC に対して正確に

f(x):=C(x−x1)(x−x2)⋯(x−xk) f(x) := C(x-x_{1})(x-x_{2}) \cdots (x-x_{k})

と表せる。一方、xkx^{k} の係数 C(k+1)(k+1)C_{(k+1)(k+1)} は(k+1)(k+1)行目と(k+1)(k+1)列目に対する余因子なので

C(k+1)(k+1)=(−1)(k+1)+(k+1)det⁡[1x1x12⋯x1k−11x2x22⋯x2k−1⋮⋮⋮⋱⋮1xkxk2⋯xkk−1]=1⋅∏1≤i<j≤k(xj−xi) C_{(k+1)(k+1)} = (-1)^{(k+1)+(k+1)} \det \begin{bmatrix} 1 & x_{1} & x_{1}^{2} & \cdots & x_{1}^{k-1} \\ 1 & x_{2} & x_{2}^{2} & \cdots & x_{2}^{k-1} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & x_{k} & x_{k}^{2} & \cdots & x_{k}^{k-1} \end{bmatrix} =1 \cdot \prod_{1 \le i < j \le k } (x_{j} - x_{i})

つまり、C=C(k+1)(k+1)\displaystyle C = C_{(k+1)(k+1)} であるため

det⁡Vk′=f(x)=[∏1≤i<j≤k(xj−xi)][(x−x1)(x−x2)⋯(x−xk)] \det V_{k} ' = f(x) = \left[ \prod_{1 \le i < j \le k } (x_{j} - x_{i}) \right] \left[ (x-x_{1})(x-x_{2}) \cdots (x-x_{k}) \right]

便宜上xk+1:=xx_{k+1} := x として再定義すれば、Vk′=Vk+1V_{k} ' = V_{k+1} であり、

P(k+1):det⁡Vk+1=∏1≤i<j≤k+1(xj−xi) P(k+1) : \det V_{k+1} = \prod_{1 \le i < j \le k+1 } (x_{j} - x_{i})

これが成り立つことがわかる。P(k)P(k) が真であるとき、P(k+1) P(k+1) が真であるので、数学的帰納法により証明が完了する。

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