📂集合論

関数の原像

定義 ¹

関数$f: X \to Y$と$B \subset Y$について、$f^{-1}(B): = \left\{ x \in X \ | \ f(x) \in B \right\}$を$f$による$B$の原像または逆像という。

説明

表記は似ているが、定義そのものだけで逆像と逆関数がどのような関係にあるとは言えず、これらを混同してはならない。

韓国語で言うには逆像が自然である一方、英語では「プレイメージ」が自然に感じられる人がいるだろう。これは、逆らうという意の逆という漢字が単に「どこから来たのか」という逆像の概念によく合う一方、上で述べたように「インバース」という言葉が逆関数を連想させるため、意識的に使うのを避けるためである。もちろん、単に「プレイメージ」の方が発音しやすいのでよく使う、接頭辞としての「原」が馴染みがないので使わない、といった単純な理由もある。

基本性質

• [1] 空集合: $$ f ( \emptyset ) = \emptyset $$
• [2] 単元集合: $$ x \in X \implies f \left( \left\{ x \right\} \right) = \left\{ f(x) \right\} $$
• [3] 単調性: $$ A \subset B \subset X \implies f (A) \subset f(B) \\ C \subset D \subset Y \implies f^{-1} (C) \subset f^{-1} (D) \\ f(X) \subset Y \iff X \subset f^{-1} (Y) $$
• [4] 和集合: $$ f \left( \bigcup_{\gamma \in \Gamma} A_{\gamma} \right)= \bigcup_{\gamma \in \Gamma } f \left( A_{\gamma} \right) \\ f^{-1} \left( \bigcap_{\gamma \in \Gamma} A_{\gamma} \right) = \bigcap_{\gamma \in \Gamma } f^{-1} \left( A_{\gamma} \right) $$
• [5] 共通部分: $$ f^{-1} \left( \bigcup_{\gamma \in \Gamma} A_{\gamma} \right)= \bigcup_{\gamma \in \Gamma } f^{-1} \left( A_{\gamma} \right) \\ f \left( \bigcap_{\gamma \in \Gamma} A_{\gamma} \right) {\color{red}\subset} \bigcap_{\gamma \in \Gamma } f \left( A_{\gamma} \right) $$
• [6] 差集合: $$ f (A) \setminus f (B) \subset f (A \setminus B) \\ f^{-1} (C) \setminus f^{-1}(D) = f^{-1} (C \setminus D) $$

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特に[5]、[6]において、関数は共通部分をそのまま保存できないことに注目せよ。等号を満たすためには$f$が単射でなくてはならない。

大まかに知っていても反復を通じて慣れるしかない全単射と逆関数の概念とは異なり、逆像はできるだけ早く正確に習得する必要がある。逆像をいい加減に理解して済ませると、すぐに線形代数学におけるゼロ空間に対する直感が落ち、そのまま進展がなければ抽象代数にまで影響を及ぼす。関数の像とは異なる性質が多いため、ただ反対だろうと思って見過ごすのではなく、しっかり勉強して確実に理解するようにしよう。