📂数値解析

一貫性を持つ多段階法の安定性とルート条件

定理

もしマルチステップメソッドが一貫性を持つならば、メソッドは安定性を持つ$\iff$メソッドはルート条件を満たす

説明

閉区間$[x_{0} , b]$に対して$h$単位で切り分けてノードポイントを作るとき、$x_{0} \le x_{1} \le \cdots \le x_{N(h) -1} \le x_{N(h) } \le b$としよう。ここで$N(h)$は$h$に従って変わる最後のノードポイントのインデックスを表す。

元の与えられた初期値$y_{0} , \cdots , y_{p}$に対して非常に少し変化を加えた$z_{0} , \cdots , z_{p}$を考えてみよう。メソッドが安定性を持つということは、十分に小さな正の数$h$と$\epsilon$に対して、$\displaystyle \max_{0 \le n \le p} | y_{ n} - z_{n} | \le \epsilon$とするとき、$\displaystyle \max_{0 \le n \le N(h) } | y_{ n} - z_{n} | \le c \epsilon$を満たすようなある定数$C$が$h$と独立に存在するということである。初期の小さな変化が$h$を調整することにより大きな変化になることがあれば、メソッドは安定性を持たないと言われる。

証明 ¹

一貫性を持つマルチステップメソッド: 初期値問題$\begin{cases} y ' = f(x,y) \\ ( y( x_{0} ) , \cdots , y(x_{p}) ) = (Y_{0}, \cdots , Y_{p} ) \end{cases}$に対してマルチステップメソッド $$ y_{n+1} = \sum_{j=0}^{p} a_{j} y_{n-j} + h \sum_{j = -1}^{p} b_{j} f (x_{n-j} , y_{n-j} ) $$ は以下を満たす。 $$ \begin{cases} \displaystyle \sum_{j = 0}^{p} a_{j} = 1 \\ \displaystyle - \sum_{j = 0}^{p} j a_{j} + \sum_{j = -1}^{p} b_{j} = 1 \end{cases} $$

ルート条件: 一貫性を持つマルチステップメソッドに対して$\displaystyle \rho ( r) = r^{p+1} - \sum_{j=0}^{p} a_{j} r^{p-j}$としよう。方程式$\rho (r ) = 0$の根$r_{0} , \cdots , r_{p}$が次の条件を満たすとき、与えられたマルチステップメソッドはルート条件^{root condition}を満たすと言われる。

• (i): $| r_{j} | \le 1$
• (ii): $|r_{j}| = 1 \implies \rho ‘(r_{j}) \ne 0$

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$(\Rightarrow)$

メソッドが安定性を持つにも関わらず、ルート条件を満たさないと仮定してみよう。

この仮定に対して初期値問題$\begin{cases} y ' = 0 \\ y(0) = 0 \end{cases}$が反例になることを示す。

与えられた問題の数値解は明らかに全ての$n \ge 0$に対して$y_{n} = 0$である。

ここで$y_{0} , \cdots , y_{p}$に対して非常に少し変化を加えた$z_{0} , \cdots , z_{p}$を考えてみると $$ z_{n+1} = a_{0} z_{n} + a_{1} z_{n-1} + \cdots + a_{p-1} z_{n-p-1} + a_{p} z_{n -p} $$ 特性ソリューションを求めるために$z_{n} := r^{n}$としよう $$ r^{n+1} = a_{0} r^{n} + a_{1} r^{n-1} + \cdots + a_{p-1} r^{n-p-1} + a_{p} r^{n -p} $$ 両辺を$r^{n-p}$で割ると $$ r^{p+1} = a_{0} r^{p} + a_{1} r^{n-1} + \cdots + a_{p-1} r^{1} + a_{p} $$ この$p+1$次方程式は$r_{0}=1$以外にも$p$個の根$r_{1}, r_{2} , \cdots , r_{p}$を持つ。したがって、ジェネラルソリューションはある$c_{0} , \cdots , c_{p}$に対して $$ z_{n} = c_{0} r_{0}^{n} + c_{1} r_{1}^{n} + \cdots + c_{p} r_{p}^{n} $$ このとき、ある$0 \le j \le p$に対して以下の二つのケースを考えよう。

• ケース1.
  条件(i)を満たさないため、$ j$に対して$|r_{j}| > 1$である場合$z_{0} = 0 + \cdots + c_{j} r_{j}^{0} + \cdots + 0 = \epsilon$、つまり$c_{i} = \begin{cases} \epsilon & , i = j \\ 0 & , i \ne j \end{cases} $とする $$ z_{0} = c_{j} r_{j}^{0} = \epsilon $$ というわけだ。言い換えれば、$z_{0} = c_{j} ( r_{j} ) ^{0} \implies z_{ n} = c_{j} ( r_{j} ) ^{n}$なので $$ z_{0} = \epsilon, z_{1} = \epsilon r_{j } , \cdots , z_{p} = \epsilon r_{j}^{p} $$ となり $$ \max_{0 \le n \le p } | y_{n} - z_{n} | = \epsilon | r_{j} |^{p} $$ メソッドを$[x_{0} , b]$に適用してみると $$ \max_{x_{0} \le x_{n} \le b } | y_{n} - z_{n} | = \epsilon |r_{j}|^{N(h)} $$ しかし、$h \to 0$のとき$N(h) \to \infty$であり$|r_{j}| > 1$なので $$ \max_{x_{0} \le x_{n} \le b } | y_{n} - z_{n} | = c \cdot \epsilon |r_{j}|^{p} $$ を満たす$C>0$は存在しえない。したがってメソッドは安定性を持たなくなる。
• ケース2.
  条件(ii)を満たさないため、$j$に対して$|r_{j}| = 1 \implies \rho’(r_{j}) = 0$である場合、これは$|r_{j}| = 1$であれば$r_{j}$が特性方程式の重根であることを意味し、$r_{j}$の重複度は少なくとも$2$でなければならない。この場合、ジェネラルソリューションは線形独立な特殊ソリューション$r_{j}^{n} , n r_{j}^{n} , \cdots , n^{ \nu - 1} r_{j}^{n}$を含む線形結合として表される。数式で書くと、 $$ z_{n} = c_{j_{0}} r_{j}^{n} + c_{j_{1}} n r_{j}^{n} + \dots + c_{j_{\nu-1}} n^{\nu-1} r_{j}^{n} $$ ここで$\displaystyle \epsilon := \max_{ 0 \le k \le \nu-1} | c_{j_{k}} |$とすると$| r_{j} | = 1$なので $$ | z_{0 } | \le \epsilon , | z_{1 } | \le 2 \epsilon , \cdots , \displaystyle | z_{ p} | \le \epsilon ( 1 + p + \cdots + p^{\nu -1} ) = \epsilon {{ p^{\nu} -1 } \over { p - 1}} $$ マルチステップメソッドなので$p \ge 2$に対して $$ \max_{0 \le n \le p } | y_{n} - z_{n} | = \epsilon {{ p^{\nu} -1 } \over { p - 1}} $$ メソッドを$[x_{0} , b]$に適用してみると $$ \max_{x_{0} \le x_{n} \le b } | y_{n} - z_{n} | = \epsilon {{ N(h)^{\nu} -1 } \over { N(h) - 1}} $$ しかし、$h \to 0$のとき$N(h) \to \infty$であるため $$ \max_{x_{0} \le x_{n} \le b } | y_{n} - z_{n} | = c \cdot \epsilon {{ p^{\nu} -1 } \over { p - 1}} $$ を満たす$C>0$は存在しえない。したがってメソッドは安定性を持たなくなる。

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$(\Leftarrow)$ 元の証明があまりにも難しく、多くの飛躍がある²。

$e_{n} : = y_{n} - z_{n}$とすると、非同型線形微分方程式$y = z + e$を解くことと考えられる。

逆に、$z = y - e$は同型線形微分方程式になる。 $$ \begin{align} \displaystyle y_{n+1} = \sum_{j=0}^{p} a_{j} y_{n-j} + h \sum_{j = -1}^{p} b_{j} f (x_{n-j} , y_{n-j} ) \end{align} $$

$$ \begin{align} \displaystyle z_{n+1} = \sum_{j=0}^{p} a_{j} z_{n-j} + h \sum_{j = -1}^{p} b_{j} f (x_{n-j} , z_{n-j} ) \end{align} $$ $(1)$から$(2)$を引くと、 $$ e_{n+1} = \sum_{i=0}^{n} a_{j} e_{n-j} + h \sum_{j= -1}^{p} b_{j} \left[ f(x_{n-j} , y_{n- j }) - f(x_{n-j} , z_{n- j }) \right] $$ を得る。$y_{n} = d_{0} s_{0}^{n} + d_{1} s_{1}^{n} + \cdots + d_{p} s_{p}^{n}$とすると、 $$ e_{n} = g_{0} ( r_{0} + s_{0} )^n + g_{1} ( r_{1} + s_{1} )^n + \cdots + g_{p} ( r_{p} + s_{p} )^n $$ これに対して$\displaystyle \max_{0 \le n \le p} | y_{ n} - z_{n} | = \epsilon$としよう。与えられたメソッドは $$ e_{n} = g_{0} ( r_{0} + s_{0} )^n + g_{1} ( r_{1} + s_{1} )^n + \cdots + g_{p} ( r_{p} + s_{p} )^n $$ の$( r_{0} + s_{0} ) , \cdots , ( r_{p} + s_{p} )$に対してもルート条件を満たすので、 $$ \begin{align*} \displaystyle | e_{n} | =& | g_{0} | | r_{0} + s_{0} |^n + | g_{1} | | r_{1} + s_{1} | ^n + \cdots + | g_{p} | | r_{p} + s_{p} |^n \\ \le & p \max_{1 \le i \le p} | g_{i}| \max_{1 \le i \le p} | r_{i} + s_{i} |^n \\ \le & p \cdot \epsilon \cdot 1 \end{align*} $$ したがって$\displaystyle \max_{ x_{0} \le x_{n} \le b} | e_{n} | = p \epsilon$であり、メソッドは安定性を持つ。

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