カルノーエンジン
定義
以下の四つのプロセスを順番に実行する機関をカルノー機関Carnot engineという。
Step 1. 等温膨張 プロセス $A \to B$:
温度が$T_{h}$に保持された状態で熱エネルギー$Q_{h}$を受け取り、体積が$V_{A}$から$V_{B}$に増加する。Step 2. 断熱膨張 プロセス $B \to C$:
熱が保持された状態で体積が$V_{B}$から$V_{C}$に増加し、温度が$T_{h}$から$T_{l}$に減少する。Step 3. 等温収縮プロセス $C \to D$:
温度が$T_{l}$に保持された状態で熱エネルギー$Q_{l}$を放出し、体積が$V_{C}$から$V_{D}$に減少する。Step 4. 断熱収縮プロセス $D \to A$:
熱が保持された状態で体積が$V_{D}$から$V_{A}$に減少し、温度が$T_{l}$から$T_{h}$に増加する。
定理
カルノー機関の熱効率は次のようになる。
$$ \eta = 1 - \dfrac{Q_{l}}{Q_{h}} = 1 - \dfrac{T_{l}}{T_{h}} $$
説明
二つの等温プロセスと二つの断熱プロセスを扱うだけだが、どんな複雑な機関よりも効率が高い。実際、この設計は理論的にのみ意味があるもので、実際の熱機関の効率はカルノー機関にはるかに及ばない。このように無駄に見えるカルノー機関が重要な理由は、効率がただ良いのではなく最も良いからである。
証明
ここでは、すべてのプロセスが理想気体に対するものであると仮定する。
$$ d U = \delta Q + \delta W $$
すべてのプロセスを一度ずつ実行したときの内部エネルギーの変化は$0$であり、そのため熱力学第一法則により以下が成り立つ。
$$ -\delta W = \delta Q $$
したがって、カルノー機関が一周期で外部に行った仕事は次のようになる。
$$ W = Q_{h} - Q_{l} $$
カルノー機関を模式的に示すと以下のようになる。
$p V^{\gamma}$は定数である。
理想気体の法則から、$p \propto \dfrac{T}{V}$なので、$pV^{\gamma} \propto T V^{\gamma - 1}$も定数である。**Step 2. $B \to C$は断熱プロセスなので、以下が成り立つ。
$$ { { T_{h} V_{B}^{\gamma - 1} } \over {T_{l} V_{C}^{\gamma - 1}} } = 1 $$
要約すると、次を得る。
$$ {{T_{h} } \over {T_{l} }} = \left( \dfrac{V_{C}}{V_{B}} \right)^{\gamma - 1} $$
**Step 4. $D \to A$も断熱プロセスなので、以下が成り立つ。
$$ { { T_{l} V_{D}^{\gamma - 1} } \over {T_{h} V_{A}^{\gamma - 1}} } = 1 $$
要約すると、次を得る。
$$ \left( \dfrac{V_{D}}{V_{A}} \right)^{\gamma - 1} = {{T_{h} } \over {T_{l} }} $$
したがって、$\dfrac{V_{D}}{V_{A}} = \dfrac{V_{C}}{V_{B}}$であり、要約すると、次を得る。
$$ \begin{equation} \dfrac{V_{B}}{V_{A}} = \dfrac{V_{C}}{V_{D}} \label{eq1} \end{equation} $$
$$ \Delta Q = RT \ln \dfrac{V_{2}}{V_{1}} $$
Step 1. $A \to B$は等温プロセスなので、次を得る。
$$ \begin{equation} Q_{h} = RT_{h} \ln \dfrac{V_{B}}{V_{A}} \label{eq2} \end{equation} $$
Step 3. $C \to D$も等温プロセスなので、次を得る。
$$ Q_{l} = RT_{l} \ln \dfrac{V_{C}}{V_{D}} $$
$\eqref{eq1}$が$\dfrac{V_{B}}{V_{A}} = \dfrac{V_{C}}{V_{D}}$と等しかったので、これを$\eqref{eq2}$に代入して、次を得る。
$$ \dfrac{Q_{h}}{Q_{l}} = \dfrac{ RT_{h} \ln \dfrac{V_{B}}{V_{A}} }{ RT_{l} \ln \dfrac{V_{C}}{V_{D}} } = \dfrac{ T_{h} \ln \dfrac{V_{C}}{V_{D}} }{ T_{l} \ln \dfrac{V_{C}}{V_{D}} } = \dfrac{T_{h}}{T_{l}} $$ よって、カルノー機関の効率は次のようになる。
$$ \eta = {{W} \over {Q_{h}}} = {{Q_{h} - Q_{l} } \over {Q_{h}}} = 1 - \dfrac{Q_{l}}{Q_{h}} = 1 - \dfrac{T_{l}}{T_{h}} $$
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