二項分布の平均と分散
公式
$\displaystyle X \sim \text{Bin} (n,p)$ 面 $$ E(X)=np \\ \operatorname{Var}(X)=npq $$
- ここで、$q : = 1-p$ です。
導出
戦略：組み合わせを直接解きます。式は少し汚いけど、高校レベルで十分に消化できる。一度は自分でやってみるべきだ。数理統計学に触れると、[もっと短く簡単な方法で]証明できるようになる。(../1480) 平均でも分散でも、以下のような二項分布の確率質量関数から始めます。
二項分布の定義：$n \in \mathbb{N}$ と$p \in [0,1]$ に対して、以下のような確率質量関数を持つ離散確率分布 $\text{Bin}(n,p)$ を二項分布と呼ぶ。 $$ p(x) = \binom{n}{x} p^{x} (1-p)^{n-x} \qquad , x= 0, 1 , \cdots , n $$
平均
二項分布 $\text{Bin} (n,p)$ の確率質量関数は $p( k ) = { _n {C} _k } p^{ k } (1-p)^{n-k}$ だから $$ E(X)=\sum _{ k=0 }^{ n }{ k{ _n {C} _k }{ p ^ k }{ q ^ { n - k } } } $$ $\displaystyle k=0$ の時 $k{ _n {C} _k }{ p ^ k }{ q ^ { n - k } }=0$ だから $$ \begin{align*} E(X) =& \sum _{ k=1 }^{ n }{ k{ _n {C} _k }{ p ^ k }{ q ^ { n - k } } } \\ =& \sum _{ k=1 }^{ n }{ k\frac { n! }{ (n-k)!k! }{ p ^ k }{ q ^ { n - k } } } \\ =& np\sum _{ k=1 }^{ n }{ \frac { (n-1)! }{ (n-k)!(k-1)! }{ p ^ { k - 1 } }{ q ^ { n - k } } } \end{align*} $$ この時 $(n-1)=m, (k-1)=s$ とすると $$ \begin{align*} E(X) =& np\sum _{ s=0 }^{ m }{ \frac { m! }{ (m-s)!s! }{ p ^ s }{ q ^ { m - s } } } \\ =& np\cdot 1 \\ =& np \end{align*} $$
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分散
分散の性質から、$\operatorname{Var} (X)=E({ X ^ 2 })- { {E(X)} }^{ 2 } = E(X^{ 2 })- { (np) }^{ 2 }$ $$ \begin{align*} E({ X ^ 2 }) =& \sum _{ k=1 }^{ n }{ { k }^{ 2 } \frac { n! }{ (n-k)!k! }{ p ^ k }{ q ^ { n - k } } } \\ =& np\sum _{ k=1 }^{ n }{ k\frac { (n-1)! }{ (n-k)!(k-1)! }{ p ^ { k - 1 } }{ q ^ { n - k } } } \end{align*} $$ $\displaystyle (n-1)=m, (k-1)=s$ とすると $$ \begin{align*} E({ X ^ 2 }) =& np\sum _{ s=0 }^{ m }{ (s+1)\frac { m! }{ (m-s)!s! }{ p ^ s }{ q ^ { m - s } } } \\ =& np\left( \sum _{ s=0 }^{ m }{ s\frac { m! }{ (m-s)!s! }{ p ^ s }{ q ^ { m - s } } }+\sum _{ s=0 }^{ m }{ \frac { m! }{ (m-s)!s! }{ p ^ s }{ q ^ { m - s } } } \right) \\ =& np\left( \sum _{ s=0 }^{ m }{ s\frac { m! }{ (m-s)!s! }{ p ^ s }{ q ^ { m - s } } }+ 1 \right) \end{align*} $$ $S \sim \text{Bin} (m,p)$ の期待値は $\displaystyle \sum _{ s=0 }^{ m }{ s\frac { m! }{ (m-s)!s! }{ p ^ s }{ q ^ { m - s } } }=mp$ だから $$ \begin{align*} E({ X ^ 2 }) =& np(mp+1) \\ =& np{(n-1)p+1} \\ =& np(np-p+1) \\ =& np(np+q) \\ =& { (np) ^ 2 }+npq \end{align*} $$ 従って $$ \begin{align*} \operatorname{Var} (X) =& E(X^{ 2 })-{ (np) ^ 2 } \\ =& { (np) ^ 2 }+npq-{ (np) ^ 2 } \\ =& npq \end{align*} $$
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