📂ルベーグ空間

ルベーグ空間におけるコーシー・シュワルツの不等式

概要¹

$f,g \in L^{2} (E)$ の場合 $fg \in L^{1}(E)$ が成り立ち、以下が当てはまる。

$$\left| \int_{E} f \overline{g} dm \right| \le \left\| f g \right\|_{1} \le \left\| f \right\|_{2} \left\| g \right\|_{2}$$

ここで、$\| \cdot \|_{2}$は$L^{2}$空間のノルム、$\| \cdot \|_{1}$は$L^{1}$空間のノルムだ。

説明

関数解析を学んでいるなら、この不等式がなぜコーシー・シュヴァルツと呼ばれているかすぐに理解できるはずだ。実際、内積が定義されている場所であれば、コーシー・シュヴァルツの不等式をどこでも見つけることができる。ヘルダーの不等式へと一般化することができる。

証明

$$\int_{E} fg dm \le \int_{E} |fg| dm \le \int_{E} | f + g |^2 dm < \infty$$

従って、$fg \in L^{1}$。一方、$\displaystyle (x - y)^2 \ge 0$から以下のことが得られる。

$$xy \le \dfrac{1}{2} \left( x^2 + y^2 \right)$$

• ケース1. $\left\| f \right\|_{2} = 0$ または $\left\| g \right\|_{2} = 0$の場合

  ほぼどこでも$f = 0$か部分的に$g = 0$なので、ほぼどこでも$f\overline{g} = 0$。従って、$\displaystyle \left| \int_{E} f \overline{g} dm \right| = \left\| fg \right\|_{1} = 0$であり、$\left\| f \right\|_{2} \left\| g \right\|_{2} = 0$であるから、不等式を満たす。

• ケース2. $\left\| f \right\|_{2} = \left\| g \right\|_{2} = 1$の場合

  $$\left| \int_{E} f \overline{g} dm \right| \le \int_{E} \left| f \overline{g} \right| dm = \left\| fg \right\|_{1} \le {{1} \over {2}} (1 + 1) = 1 = \left\| f \right\|_{2} \left\| g \right\|_{2}$$

  従って、不等式を満たす。

• ケース3. その他のケース

  正規化された関数$\displaystyle \hat{ f } : = {{f} \over {\left\| f \right\|_{2}}}$と$\displaystyle \hat{ g } : = {{g} \over {\left\| g \right\|_{2}}}$を新たに定義しよう。そうするとケース2より

  $$\left| \int_{E} \hat{f} \overline{\hat{g} } dm \right| \le \left\| \hat{f} \hat{g} \right\|_{1} \le \left\| \hat{f} \right\|_{2} \left\| \hat{g} \right\|_{2}$$

  展開すると

  $$\left| \int_{E} {{f} \over {\left\| f \right\|_{2}}} \overline{{{g} \over {\left\| g \right\|_{2}}} } dm \right| \le \left\| {{f} \over { \left\| f \right\|_{2}}} {{g} \over {\left\| g \right\|_{2}}} \right\|_{1} \le \left\| {{f} \over {\left\| f \right\|_{2}}} \right\|_{2} \left\| {{g} \over {\left\| g \right\|_{2}}} \right\|_{2}$$

  スカラー$\left\| f \right\|_{2} , \left\| g \right\|_{2} \in (0, \infty)$を整理すると

  $$\left| \int_{E} f \overline{g} dm \right| \le \left\| f g \right\|_{1} \le \left\| f \right\|_{2} \left\| g \right\|_{2}$$

  を得る。

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関連項目

• 入試数学でのコーシー・シュヴァルツの不等式
• ユークリッド空間でのコーシー・シュヴァルツの不等式