熱方程式の解法

説明

$$ u_{t} = \gamma u_{xx} $$

上の式は、一般化された熱方程式

$$ {{\partial} \over {\partial t}} \left( \sigma (x) u \right) = {{\partial} \over {\partial x }} \left( \kappa (x) {{\partial u} \over {\partial x}} \right) $$

で熱伝導率^{thermal conductivity} $\kappa (x) > 0$ と熱容量^{heat capacity} $\sigma (x) > 0$ が両方とも定数の場合、$\displaystyle \gamma : = {{\kappa} \over {\sigma}}$ を熱拡散率^{thermal diffusivity}と呼ぶ。

ここで、$t$ は時間、$x$ は位置、$u(t,x)$ は時間 $t$ の時の熱の分布を表している。$\gamma$ は熱拡散率で、値が大きければ分布の変化は速い。

解説

基本的なアイデアは、2階線形同次微分方程式の解から取ってきた。

ステップ 1. $\displaystyle L[ u ] := -\gamma {{\partial^2 u} \over { \partial x^2 }} $
線形演算子 $L$ を上記のように定義し、解が $u(t,x) = e^{- \lambda t} v(X)$ と表されると仮定すると
$$ \displaystyle u_{t} = {{ \partial u} \over {\partial t}} = - \lambda e^{-\lambda t} v(x) \\ \displaystyle u_{xx} = {{ \partial ^2 u} \over {\partial x^2}} = e^{-\lambda t} v '' (x) $$
$u$ が与えられた方程式の解なら
$$ u_{t} = \lambda e^{- \lambda t } v = - \gamma e^{- \lambda t } v '' = u_{xx} $$
整理すると $\lambda v = -\gamma v ''$ を満たす。これを線形演算子 $L$ で表現すると $\displaystyle L[v] = -\gamma v ''$ なので、$L[v] = \lambda v$ のように表せる。ここで、非自明解 $v \ne 0$ について $\lambda$ を$L$の固有値、$v$ を $\lambda$ の固有関数と呼ぶ。
ステップ 2. 常微分方程式 $\displaystyle v '' + {{\lambda } \over {\gamma}} v = 0$ の解
$v(x) = e^{z x }$ と仮定すると
$$ v '' + {{\lambda } \over {\gamma}} v = 0 \implies z^2 e^{zx} + {{\lambda } \over {\gamma}} e^{zx} = 0 \implies z^2 + {{\lambda } \over {\gamma}} = 0 $$ 結局、$\displaystyle v '' + {{\lambda } \over {\gamma}} v = 0$ を解くということは、特性方程式 $\displaystyle z^2 + {{\lambda } \over {\gamma}} = 0$ を解くことである。
ステップ 3.
$u(t,x) = e^{- \lambda t} v(X)$ を解の候補として、$v(x)$ だけを求めれば解説は終わり。
- ケース 1. $\lambda < 0$
  特性方程式の解は $\displaystyle z = \pm \sqrt{ - { \lambda } \over { \gamma} }$ なので、基本解は
  $$ z = e^{ \sqrt{ -{{\lambda} \over {\gamma}} } x }, e^{ - \sqrt{ -{{\lambda} \over {\gamma}} } x } $$
  従って、解は何らかの定数 $c_{1} , c_{2} \in \mathbb{C}$ に対して
  $$ u(t,x) = e^{ - \lambda t } \left( c_{1} e^{ \sqrt{ -{{\lambda} \over {\gamma}} } x } + c_{2 } e^{ - \sqrt{ -{{\lambda} \over {\gamma}} } x } \right) $$
- ケース 2. $\lambda = 0$
  特性方程式の解は $\displaystyle z = 0$ なので、基本解は $\displaystyle z = 1, x$ 従って、解は何らかの定数 $c_{1} , c_{2} \in \mathbb{C}$ に対して
  $$ u(t,x) = c_{1} + c_{2} x $$
- ケース 3. $\lambda > 0$
  特性方程式の解は $\displaystyle z = \pm i \sqrt{ - { \lambda } \over { \gamma} }$ なので、基本解は
  $$ z = e^{ i \sqrt{ -{{\lambda} \over {\gamma}} } x }, e^{ - i \sqrt{ -{{\lambda} \over {\gamma}} } x } $$
  従って、解は何らかの定数 $c_{1} , c_{2} \in \mathbb{C}$ に対して
  $$ u(t,x) = e^{ - \lambda t } \left( c_{1} e^{ i \sqrt{ -{{\lambda} \over {\gamma}} } x } + c_{2 } e^{ - i \sqrt{ -{{\lambda} \over {\gamma}} } x } \right) $$
- ケース 4. $\lambda \notin \mathbb{R}$
  $\lambda = r e^{i \theta}$ と表すことにする。
  $\displaystyle z^2 = - {{\lambda} \over {\gamma}} = {{r } \over {\gamma}} e^{ i \theta}$ なので、基本解は
  $$ z = \sqrt{ {{r} \over {\gamma}} } e^{ i {{ \theta } \over {2}} }, \sqrt{ {{r} \over {\gamma}} } e^{ i \left( {{ \theta } \over {2}} + \pi\right) } $$
  従って、解は何らかの定数 $c_{1} , c_{2} \in \mathbb{C}$ に対して
  $$ u(t,x) = \exp \left( r e^{i \theta} t \right) \left[ c_{1} \exp \left( \sqrt{ {{r} \over {\gamma}} } e^{ i {{ \theta } \over {2}} } x \right) + c_{2 } \exp \left( \sqrt{ {{r} \over {\gamma}} } e^{ i \left( {{ \theta } \over {2}} + \pi\right) } x \right) \right] $$
  しかし、$\lambda$ が本当に固有値になるかは別のチェックが必要。

■