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熱方程式の解法 📂偏微分方程式

熱方程式の解法

説明

ut=γuxx u_{t} = \gamma u_{xx}

上の式は、一般化された熱方程式

∂∂t(σ(x)u)=∂∂x(κ(x)∂u∂x) {{\partial} \over {\partial t}} \left( \sigma (x) u \right) = {{\partial} \over {\partial x }} \left( \kappa (x) {{\partial u} \over {\partial x}} \right)

で熱伝導率thermal conductivity κ(x)>0\kappa (x) > 0 と熱容量heat capacity σ(x)>0\sigma (x) > 0 が両方とも定数の場合、γ:=κσ\displaystyle \gamma : = {{\kappa} \over {\sigma}} を熱拡散率thermal diffusivityと呼ぶ。

ここで、tt は時間、xx は位置、u(t,x)u(t,x) は時間 tt の時の熱の分布を表している。γ\gamma は熱拡散率で、値が大きければ分布の変化は速い。

解説

基本的なアイデアは、2階線形同次微分方程式の解から取ってきた。

  • ステップ 1. L[u]:=−γ∂2u∂x2\displaystyle L[ u ] := -\gamma {{\partial^2 u} \over { \partial x^2 }}

    線形演算子 LL を上記のように定義し、解が u(t,x)=e−λtv(X)u(t,x) = e^{- \lambda t} v(X) と表されると仮定すると

    ut=∂u∂t=−λe−λtv(x)uxx=∂2u∂x2=e−λtv′′(x) \displaystyle u_{t} = {{ \partial u} \over {\partial t}} = - \lambda e^{-\lambda t} v(x) \\ \displaystyle u_{xx} = {{ \partial ^2 u} \over {\partial x^2}} = e^{-\lambda t} v '' (x)

    uu が与えられた方程式の解なら

    ut=λe−λtv=−γe−λtv′′=uxx u_{t} = \lambda e^{- \lambda t } v = - \gamma e^{- \lambda t } v '' = u_{xx}

    整理すると λv=−γv′′\lambda v = -\gamma v '' を満たす。これを線形演算子 LL で表現すると L[v]=−γv′′\displaystyle L[v] = -\gamma v '' なので、L[v]=λvL[v] = \lambda v のように表せる。ここで、非自明解 v≠0v \ne 0 について λ\lambda をLLの固有値、vv を λ\lambda の固有関数と呼ぶ。

  • ステップ 2. 常微分方程式 v′′+λγv=0\displaystyle v '' + {{\lambda } \over {\gamma}} v = 0 の解

    v(x)=ezxv(x) = e^{z x } と仮定すると

    v′′+λγv=0  ⟹  z2ezx+λγezx=0  ⟹  z2+λγ=0 v '' + {{\lambda } \over {\gamma}} v = 0 \implies z^2 e^{zx} + {{\lambda } \over {\gamma}} e^{zx} = 0 \implies z^2 + {{\lambda } \over {\gamma}} = 0 結局、v′′+λγv=0\displaystyle v '' + {{\lambda } \over {\gamma}} v = 0 を解くということは、特性方程式 z2+λγ=0\displaystyle z^2 + {{\lambda } \over {\gamma}} = 0 を解くことである。

  • ステップ 3.

    u(t,x)=e−λtv(X)u(t,x) = e^{- \lambda t} v(X) を解の候補として、v(x)v(x) だけを求めれば解説は終わり。

    • ケース 1. λ<0\lambda < 0

      特性方程式の解は z=±−λγ\displaystyle z = \pm \sqrt{ - { \lambda } \over { \gamma} } なので、基本解は

      z=e−λγx,e−−λγx z = e^{ \sqrt{ -{{\lambda} \over {\gamma}} } x }, e^{ - \sqrt{ -{{\lambda} \over {\gamma}} } x }

      従って、解は何らかの定数 c1,c2∈Cc_{1} , c_{2} \in \mathbb{C} に対して

      u(t,x)=e−λt(c1e−λγx+c2e−−λγx) u(t,x) = e^{ - \lambda t } \left( c_{1} e^{ \sqrt{ -{{\lambda} \over {\gamma}} } x } + c_{2 } e^{ - \sqrt{ -{{\lambda} \over {\gamma}} } x } \right)

    • ケース 2. λ=0\lambda = 0

      特性方程式の解は z=0\displaystyle z = 0 なので、基本解は z=1,x\displaystyle z = 1, x 従って、解は何らかの定数 c1,c2∈Cc_{1} , c_{2} \in \mathbb{C} に対して

      u(t,x)=c1+c2x u(t,x) = c_{1} + c_{2} x

    • ケース 3. λ>0\lambda > 0

      特性方程式の解は z=±i−λγ\displaystyle z = \pm i \sqrt{ - { \lambda } \over { \gamma} } なので、基本解は

      z=ei−λγx,e−i−λγx z = e^{ i \sqrt{ -{{\lambda} \over {\gamma}} } x }, e^{ - i \sqrt{ -{{\lambda} \over {\gamma}} } x }

      従って、解は何らかの定数 c1,c2∈Cc_{1} , c_{2} \in \mathbb{C} に対して

      u(t,x)=e−λt(c1ei−λγx+c2e−i−λγx) u(t,x) = e^{ - \lambda t } \left( c_{1} e^{ i \sqrt{ -{{\lambda} \over {\gamma}} } x } + c_{2 } e^{ - i \sqrt{ -{{\lambda} \over {\gamma}} } x } \right)

    • ケース 4. λ∉R\lambda \notin \mathbb{R}

      λ=reiθ\lambda = r e^{i \theta} と表すことにする。

      z2=−λγ=rγeiθ\displaystyle z^2 = - {{\lambda} \over {\gamma}} = {{r } \over {\gamma}} e^{ i \theta} なので、基本解は

      z=rγeiθ2,rγei(θ2+π) z = \sqrt{ {{r} \over {\gamma}} } e^{ i {{ \theta } \over {2}} }, \sqrt{ {{r} \over {\gamma}} } e^{ i \left( {{ \theta } \over {2}} + \pi\right) }

      従って、解は何らかの定数 c1,c2∈Cc_{1} , c_{2} \in \mathbb{C} に対して

      u(t,x)=exp⁡(reiθt)[c1exp⁡(rγeiθ2x)+c2exp⁡(rγei(θ2+π)x)] u(t,x) = \exp \left( r e^{i \theta} t \right) \left[ c_{1} \exp \left( \sqrt{ {{r} \over {\gamma}} } e^{ i {{ \theta } \over {2}} } x \right) + c_{2 } \exp \left( \sqrt{ {{r} \over {\gamma}} } e^{ i \left( {{ \theta } \over {2}} + \pi\right) } x \right) \right]

      しかし、λ\lambda が本当に固有値になるかは別のチェックが必要。

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