ヤングの不等式の証明
定理
$\displaystyle {{1} \over {p}} + {{1} \over {q}} = 1$を満たし$1$より大きい二つの定数$p,q$と二つの正数$a,b$に対して
$$ ab \le { {a^{p}} \over {p} } + {{b^{q}} \over {q}} $$
説明
代数的に形が美しいという点を除けば、ヘルダーの不等式を証明すること以外にはあまり言及されない不等式である。
証明
$a$と$b$がともに正であるため、$a = e^A, b = e^B$を満たす実数$A,B$が存在する。
$f$が$I$で二回微分可能であるとしよう。$f$が$I$で凸であることと$f '' (x) >0$は必要十分条件である。
一方で$ e^x>0$であるため、二階導関数もまた常に正であり、したがって$\mathbb{R}$で凸である。
$I \subset \mathbb{R}$で凸な$f : I \to \mathbb{R}$と$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \lambda_{k} = 1, \lambda_{k}>0$に対して$f( \lambda_{1} x_{1} + \lambda_{2} x_{2} + \cdots + \lambda_{n} x_{n} ) \le \lambda_{1} f( x_{1}) + \lambda_{2} f( x_{2}) + \cdots + \lambda_{n} f( x_{n} )$
イェンセンの不等式により、
$$ e^{{{1} \over {p}} p A + {{1}\over {q}} q B} \le {{1} \over {p}} e^{pA} + {{1} \over {q}} e^{qB} $$
整理すると
$$ e^{A+B} \le {{1} \over {p}} (e^{A})^p +{{1} \over {q}} (e^{B})^q $$
$a = e^A, b = e^B$であったため
$$ ab \le { {a^{p}} \over {p} } + {{b^{q}} \over {q}} $$
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