📂位相幾何学

一様連続の定理

定義

距離空間 $(X, d)$ と $(Y, d’)$ に対して $f : X \to Y$ とする。全ての $\varepsilon > 0$ と $x_{1}, x_{2} \in X$ に対して $$d(x_{1}, x_{2}) < \delta \implies d’( f( x_{1} ) , f( x_{2} ) ) < \varepsilon$$ を満たす $\delta > 0$ が存在すれば、$f$ を一様連続^{uniformly Continuous}と言う。

説明

解析学で学んだ連続の概念が位相数学で一般化されたように、一様連続もまた位相数学で一般化が可能だ。ただし、連続と違い、全ての位相空間で定義されるわけではなく、厳密には距離空間でのみ論じられる点に注意が必要だ。

以下の定理も、解析学でよく知られている事実の一般化である。

定理 ¹

$(X,d)$ がコンパクトな距離空間、$(Y,d’)$ が距離空間で、$f : X \to Y$ が連続関数ならば、$f$ は一様連続である。

証明

$\varepsilon > 0$ が与えられているとする。$f$ は連続であるため、各々の $x \in X$ に対して $$d (x,y) < \delta_{x} \implies d’ \left( f(x) , f(y) \right) < {{ \varepsilon } \over { 2 }} \qquad , \forall y \in X$$ を満たす $\delta_{x} > 0$ が存在する。そのような $\delta_{x}$ 達によって $\left\{ B_{d} \left( x , {{ \delta_{x} } \over { 2 }} \right) : x \in X \right\}$ は $X$ の開被覆であり、$X$ はコンパクトであるため $$X = \bigcup_{i=1}^{n} B_{d} \left( x_{i} , {{ \delta_{x_{i}} } \over { 2 }} \right)$$ を満たす有限集合 $\left\{ x_{1} , \cdots , x_{n} \right\} \in X$ が存在する。したがって $$\delta := \min \left\{ {{ \delta_{x_{1}} } \over { 2 }} , \cdots , {{ \delta_{x_{n}} } \over { 2 }} \right\}$$ のように $\delta > 0$ の存在性を保証できる。$X = \bigcup_{i=1}^{n} B_{d} \left( x_{i} , {{ \delta_{x_{i}} } \over { 2 }} \right)$ であるため、$x \in X$ に対してある $1 \le j \le n$ が存在し $$x \in B_{d} \left( x_{j} , {{ \delta_{x_{j}} } \over { 2 }} \right)$$ となる。したがって $$d \left( x_{j} , y \right) \le d \left( x_{j} , x \right) + d (x,y) < {{ \delta_{x_{j}} } \over { 2 }} + \delta \le \delta_{x_{j}} \implies d’ \left( f(x_{j}) , f(y) \right) < {{ \varepsilon } \over { 2 }} \\ d \left( x_{j} , x \right) \le {{ \delta_{x_{j}} } \over { 2 }} < \delta_{x_{j}} \implies d’ \left( f(x_{j}) ,f( x) \right) < {{ \varepsilon } \over { 2 }}$$ となり、$d(x , y) < \delta$ の時はいつでも $$d’ \left( f(x), f(y) \right) < d’ \left( f(x) , f(x_{j}) \right) + d’ \left( f(x_{j}) , f(y) \right) < {{ \varepsilon } \over { 2 }} + {{ \varepsilon } \over { 2 }} = \varepsilon$$ となるような $\delta > 0$ が存在する。つまり、$f$ は一様連続である。

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