📂位相幾何学

一様連続定理

定義

距離空間 $(X, d)$ と $(Y, d’)$ に対して $f : X \to Y$ とする。すべての $\varepsilon > 0$ と $x_{1}, x_{2} \in X$ に対して $$ d(x_{1}, x_{2}) < \delta \implies d’( f( x_{1} ) , f( x_{2} ) ) < \varepsilon $$ を満たす $\delta > 0$ が存在すれば、$f$ を一様連続^{uniformly Continuous}という。

説明

解析学で学んだ連続の概念が位相数学で一般化されたように、一様連続もまた位相数学で一般化が可能である。ただしここで注意すべき点は、連続のようにすべての位相空間で定義されるのではなく、もっぱら距離空間でのみ論じるということである。

次の定理もまた解析学ではよく知られていた事実を一般化したものである。

定理 ¹

$(X,d)$ がコンパクトな距離空間、$(Y,d’)$ が距離空間であり、$f : X \to Y$ が連続関数であれば、$f$ は一様連続である。

証明

$\varepsilon > 0$ が与えられているとする。$f$ は連続なので、各 $x \in X$ に対して $$ d (x,y) < \delta_{x} \implies d’ \left( f(x) , f(y) \right) < {{ \varepsilon } \over { 2 }} \qquad , \forall y \in X $$ を満たす $\delta_{x} > 0$ が存在する。そのような $\delta_{x}$ たちに対して $\left\{ B_{d} \left( x , {{ \delta_{x} } \over { 2 }} \right) : x \in X \right\}$ は $X$ の開被覆であり、$X$ はコンパクトなので $$ X = \bigcup_{i=1}^{n} B_{d} \left( x_{i} , {{ \delta_{x_{i}} } \over { 2 }} \right) $$ を満たす有限集合 $\left\{ x_{1} , \cdots , x_{n} \right\} \in X$ が存在する。したがって $$ \delta := \min \left\{ {{ \delta_{x_{1}} } \over { 2 }} , \cdots , {{ \delta_{x_{n}} } \over { 2 }} \right\} $$ のように $\delta > 0$ の存在性を保証できる。$ X = \bigcup_{i=1}^{n} B_{d} \left( x_{i} , {{ \delta_{x_{i}} } \over { 2 }} \right)$ なので、$x \in X$ はある $1 \le j \le n$ に対して $$ x \in B_{d} \left( x_{j} , {{ \delta_{x_{j}} } \over { 2 }} \right) $$ でなければならない。したがって $$ d \left( x_{j} , y \right) \le d \left( x_{j} , x \right) + d (x,y) < {{ \delta_{x_{j}} } \over { 2 }} + \delta \le \delta_{x_{j}} \implies d’ \left( f(x_{j}) , f(y) \right) < {{ \varepsilon } \over { 2 }} \\ d \left( x_{j} , x \right) \le {{ \delta_{x_{j}} } \over { 2 }} < \delta_{x_{j}} \implies d’ \left( f(x_{j}) ,f( x) \right) < {{ \varepsilon } \over { 2 }} $$ なので、$d(x , y) < \delta$ であるたびに $$ d’ \left( f(x), f(y) \right) < d’ \left( f(x) , f(x_{j}) \right) + d’ \left( f(x_{j}) , f(y) \right) < {{ \varepsilon } \over { 2 }} + {{ \varepsilon } \over { 2 }} = \varepsilon $$ となるような $\delta > 0$ が存在する。言い換えれば、$f$ は一様連続である。

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