📂測度論

単調収束定理の証明

定理 ¹

非負の可測関数の数列 $\left\{ f_{n} \right\}$ が $f_{n} \nearrow f$ を満たすとする。そうすると、 $$ \lim_{n \to \infty} \int_{E} f_{n} dm = \int_{E} f dm $$

説明

$f_{n} \nearrow f$ とは、すべての $x$ に対して、$f_{n}(x) \le f_{n+1} (x)$ であり、かつ $\displaystyle \lim_{n \to \infty} f_{n} = f$ であることを意味する。公式はあまりにも単純で、この定理を知っているとは、「条件」を正確に理解しているということだ。便利さで言えば、極限が積分を自由に行き来できるということだから、言うまでもない。

証明

$f_{n} \le f$ であるから、 $$ \limsup_{n \to \infty} \int_{E} f_{n} dm \le \int_{E} f dm $$

ファトゥの補助定理: 非負の可測関数の数列 $\left\{ f_{n} \right\}$ に対して $$\displaystyle \int_{E} \left( \liminf_{n \to \infty} f_{n} \right) dm \le \liminf_{n \to \infty} \int_{E} f_{n} dm $$

ファトゥの補助定理と下限の性質により、$\displaystyle \int_{E} f dm \le \liminf_{n \to \infty} \int_{E} f_{n} dm$ となり、まとめると、 $$\displaystyle \limsup_{n \to \infty} \int_{E} f_{n} dm \le \int_{E} f dm \le \liminf_{n \to \infty} \int_{E} f_{n} dm $$ しかし、当然 $\displaystyle \liminf_{n \to \infty} \int_{E} f_{n} dm \le \limsup_{n \to \infty} \int_{E} f_{n} dm$ であるから、 $$\displaystyle \limsup_{n \to \infty} \int_{E} f_{n} dm = \int_{E} f dm = \liminf_{n \to \infty} \int_{E} f_{n} dm$$ でなければならない。

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結論

非負の可測関数の数列 $\left\{ f_{n} \right\}$ がほとんど至る所で $f_{n} \nearrow f$ を満たすとする。そうすると、 $$\lim_{n \to \infty} \int_{E} f_{n} dm = \int_{E} f dm$$ であり、特に $$ \int \sum_{n=1}^{\infty} f_{n} dm = \sum_{n=1}^{\infty} \int f_{n} dm$$