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単調収束定理の証明 📂測度論

単調収束定理の証明

定理 1

非負の可測関数の数列 {fn}\left\{ f_{n} \right\} が fn↗ff_{n} \nearrow f を満たすとする。そうすると、 lim⁡n→∞∫Efndm=∫Efdm \lim_{n \to \infty} \int_{E} f_{n} dm = \int_{E} f dm

説明

fn↗ff_{n} \nearrow f とは、すべての xx に対して、fn(x)≤fn+1(x)f_{n}(x) \le f_{n+1} (x) であり、かつ lim⁡n→∞fn=f\displaystyle \lim_{n \to \infty} f_{n} = f であることを意味する。公式はあまりにも単純で、この定理を知っているとは、「条件」を正確に理解しているということだ。便利さで言えば、極限が積分を自由に行き来できるということだから、言うまでもない。

証明

fn≤ff_{n} \le f であるから、 lim sup⁡n→∞∫Efndm≤∫Efdm \limsup_{n \to \infty} \int_{E} f_{n} dm \le \int_{E} f dm

ファトゥの補助定理: 非負の可測関数の数列 {fn}\left\{ f_{n} \right\} に対して ∫E(lim inf⁡n→∞fn)dm≤lim inf⁡n→∞∫Efndm\displaystyle \int_{E} \left( \liminf_{n \to \infty} f_{n} \right) dm \le \liminf_{n \to \infty} \int_{E} f_{n} dm

ファトゥの補助定理と下限の性質により、∫Efdm≤lim inf⁡n→∞∫Efndm\displaystyle \int_{E} f dm \le \liminf_{n \to \infty} \int_{E} f_{n} dm となり、まとめると、 lim sup⁡n→∞∫Efndm≤∫Efdm≤lim inf⁡n→∞∫Efndm\displaystyle \limsup_{n \to \infty} \int_{E} f_{n} dm \le \int_{E} f dm \le \liminf_{n \to \infty} \int_{E} f_{n} dm しかし、当然 lim inf⁡n→∞∫Efndm≤lim sup⁡n→∞∫Efndm\displaystyle \liminf_{n \to \infty} \int_{E} f_{n} dm \le \limsup_{n \to \infty} \int_{E} f_{n} dm であるから、 lim sup⁡n→∞∫Efndm=∫Efdm=lim inf⁡n→∞∫Efndm\displaystyle \limsup_{n \to \infty} \int_{E} f_{n} dm = \int_{E} f dm = \liminf_{n \to \infty} \int_{E} f_{n} dm でなければならない。

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結論

非負の可測関数の数列 {fn}\left\{ f_{n} \right\} がほとんど至る所で fn↗ff_{n} \nearrow f を満たすとする。そうすると、 lim⁡n→∞∫Efndm=∫Efdm\lim_{n \to \infty} \int_{E} f_{n} dm = \int_{E} f dm であり、特に ∫∑n=1∞fndm=∑n=1∞∫fndm \int \sum_{n=1}^{\infty} f_{n} dm = \sum_{n=1}^{\infty} \int f_{n} dm

  1. Capinski. (1999). Measure, Integral and Probability: p84. ↩︎