📂偏微分方程式

非粘性バーガース方程式の解法

定義

次の準線形偏微分方程式をバーガース方程式^{burgers’ equation}という。

$$ \begin{cases} u_{t} + u u_{x} = 0 & , t>0 \\ u(t,x) = f(x) & , t=0 \end{cases} $$

ここで$t$は時間、$x$は位置、$u(t,x)$は時間$t$のときの$x$における波形を表す。$f$は初期条件であり、特に$t=0$のときの波形を表す。

説明

バーガース方程式は$\displaystyle u_{t} + u u_{x} = \nu u_{xx}$において拡散係数$\nu$が$0$である場合を表す。

もし$f ' (x)>0$であれば、$x$が大きいほど速度が速いという意味であるため、特性曲線は上のように希薄波^rarefactionを成す。$(t,x)$における傾きは波動の速度を意味するが、希薄波を成すということは速度が次第に大きくなるか小さくなるだけであるという意味である。この場合、特性曲線どうしは決して交わらない。

波形を描いてみると、上のように速い点はより速く進み、遅い点はより遅く進むため、時間が経つにつれて次第に差が広がる。

一方、上のように$x$が大きいほど速度が減少する場合、特性曲線は上のように交差することになる。

この場合、波形を見ると、後ろにあった点が前にあった点を追い越してしまうことが起こる。上の図では$t=1$のときを起点として、$u$が与えられた$x$に対して複数の値を持ち始める。自然現象での例としては、波が生じる状況を想像してみると助けになるだろう。底の方で先を行っていた水は砂や砂利と摩擦しながら遅くなっているが、上の方は力を受けて進み、越えていく。これを破裂^blow-upといい、数学的には関数でなくなり、物理的には同時に複数の状態が重ね合わさったものである。

特性曲線が希薄波を成す場合は解析があまりにも簡単であるため、主に関心を集めるのはこの場合だけである。解を求めること自体は難しくないが、陽関数の形にきれいに変えるのが難しく、そうできない場合が数え切れないほど多い。バーガース方程式の解法においては、解のほかに破裂時刻^{blow-up time}と破裂位置^{blow-uP location}を求めることも重要な問題である。非粘性バーガース方程式の解が存在するならば、解法は次のとおりである。

解法

• Step 1. $\xi = x - tu$とおく。

• Step 2. $u = f(x - tu)$とおく。

  すると$\xi = x - t f( x - tu) = x - t f (\xi )$であるため、特性直線は$x = f(\xi) t + \xi$となる。すべての$x \in \mathbb{R}$に対して$f ' (x) > 0$であれば、特性直線は希薄波を成し交わらない。$f ' (x) < 0$である$x$が存在すれば、特性直線はある点で交わり、その点で破裂する。

• Step 3. 初期条件を$f(x-tu) = f(\xi)$の形に変える。

  もし$u = f(\xi) = f(x - tu)$を陽関数の形に変えられるならば変える。

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非粘性バーガース方程式の解が有限時間内に破裂するならば、その時刻と位置は次のとおりである

• Step 1. $u$を陽関数の形で求めたならば、$u$が発散する$t = t_{\ast}$を見つける。

  その$t_{\ast}$が破裂時刻となる。

• Step 2. 陽関数の形で求められなかったならば、$f ' (x)$を求める。

  $$ t_{\ast} : = \inf \left\{ \left. - {{1} \over {f ' (x) }} \ \right| \ f '(x) < 0 \right\} $$

  は破裂時刻である。

• Step 3. 特性直線$x = f(\xi) t + \xi$と$x$軸が交わる点$x_{0}$を見つける。

  $x = f(\xi) t + \xi$に$\xi=x_{0}$と$t = t_{\ast}$を代入して得られる$x_{*} = x_{0} + f(x_{0}) t_{\ast}$は破裂位置である。

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例

1

• $\displaystyle \begin{cases} u_{t} + u u_{x} = 0 & , t>0 \\ u(t,x) = \alpha (x - tu) + \beta & , t=0 \end{cases}$の破裂時刻を求めよ。

$u$が陽関数の形できれいに表される種類である。

$u = \alpha ( x - tu ) + \beta$を$u$について整理すると$\displaystyle u(t,x) = {{\alpha x + \beta} \over {1 + \alpha t}}$であり、破裂時刻は$\displaystyle t_{\ast} = - {{1} \over {\alpha}} $

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2

• $\displaystyle \begin{cases} u_{t} + u u_{x} = 0 & , t>0 \\ u(t,x) = {{1} \over {2}} \pi - \tan^{-1} x & , t=0 \end{cases}$の破裂時刻を求めよ。

$u$を陽関数の形で表すのが面倒な種類である。

$$ f ' (x) = \left( {{1} \over {2}} \pi - \tan^{-1} x \right) = - {{1} \over {1 + x^2}} $$

であり、$x \in \mathbb{R}$に対して$f ' (x) < 0$である。したがって

$$ t_{\ast} = \inf \left\{ \left. - {{1} \over {f ' (x) }} \ \right| \ f '(x) < 0 \right\} = \inf \left\{ \left. (1+ x^2) \ \right| \ f '(x) < 0 \right\} = 1 $$

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