📂位相幾何学

有限交差性質

定義 ¹

位相空間 を$X$とし、$\mathscr{A} \subset \mathscr{P} (X)$とする。全ての有限の部分集合 $A \subset \mathscr{A}$ に対して、$\displaystyle \bigcap A \ne \emptyset$ ならば $A$ が 有限交差性質^{finite Intersection Property}を持つという。

説明

$A$ が f.i.p. を持つということは、開集合 $U_{\alpha} \subset A$ に対して常に以下が成立することと同じである。 $$ \bigcap_{i=1}^{n} \left( X \setminus U_{i} \right) \ne \emptyset \implies \bigcap_{\alpha \in \forall } \left( X \setminus U_{\alpha} \right) \ne \emptyset $$

この性質は位相空間ではなく、一般的な集合に関する性質であることに注意しよう。例えば、$\displaystyle \left\{ \left. \left[ 0 , {{1} \over {n}} \right] \ \right| \ n \in \mathbb{N} \right\}$ は、位相を指定しなくても、ただ f.i.p. を持っていると言える。

以下の定理はコンパクトの必要十分条件を語っており有用だが、記述することが冗長であり証明も非常に理解しづらい。自己嫌悪になっても、コンパクトが本来難しいので、そう思っておこう。

定理

$X$がコンパクトである必要十分条件は、閉じた全ての$A_{\alpha} \subset X$に対して$\displaystyle \bigcap_{\alpha \in \forall} A_{\alpha} \ne \emptyset$が成立することである。

証明

開集合 $O_{\alpha}$ と閉集合 $C_{\alpha}$ に対して、以下が成立する。 $$ X \setminus \left( \bigcap C_{\alpha} \right) = \bigcup \left( X \setminus C_{\alpha} \right) = \bigcup O_{\alpha} $$

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$( \implies )$

$\mathscr{C} := \left\{ C_{\alpha} \ | \ \alpha \in \forall \right\}$が$X$の閉集合を要素に持ち、f.i.p.を持つとすると、$\mathscr{O} := \left\{ O_{\alpha} = X \setminus C_{\alpha} \ | \ \alpha \in \forall \right\}$は$X$の開集合を要素に持つ集合になる。

$\displaystyle \bigcap_{\alpha \in \forall} C_{\alpha} = \emptyset$ と仮定すると $$ \bigcup_{\alpha \in \forall} \left( X \setminus C_{\alpha} \right) = X \setminus \left( \bigcap_{\alpha \in \forall} C_{\alpha} \right) = X \setminus \emptyset = X $$ 従って、$X \subset \mathscr{O}$、即ち $\mathscr{O}$ は$X$の開カバーとなる。$X$ はコンパクトであるため、$\displaystyle X = \bigcup_{i=1}^{n} \left( X \setminus C_{i} \right)$ を満たす有限の開カバー $\mathscr{O} ' = \left\{ X \setminus C_{i} \ | \ i = 1, 2 , \cdots , n \right\}$ が存在する。一方 $$ X = \bigcup_{i = 1}^{n} \left( X \setminus C_{i} \right) = X \setminus \bigcap_{i=1}^{n} C_{i} $$ だから、$\displaystyle \bigcap_{i=1}^{n} C_{i} = \emptyset$ である。これは$\mathscr{C}$が f.i.p. を持っているという前提に矛盾するので、$\displaystyle \bigcap_{\alpha \in \forall} C_{\alpha} \ne \emptyset$ でなければならない。

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$( \impliedby )$

$\mathscr{O} := \left\{ O_{\alpha} \ | \ \alpha \in \forall \right\}$ を$X$の開カバーとすると、$\mathscr{C} := \left\{ X \setminus O_{\alpha} \ | \ \alpha \in \forall \right\}$ は$X$の閉集合を要素に持つ集合となる。

一方 $$ \bigcap_{\alpha \in \forall} C_{\alpha} = \bigcap_{\alpha \in \forall} \left( X \setminus O_{\alpha} \right) = X \setminus \bigcup_{\alpha \in \forall} O_{\alpha} = X \setminus X = \emptyset $$ 従って、f.i.p. を持たず、$\displaystyle \bigcap_{i=1}^{n} C_{i} = \emptyset$ を満たす$\mathscr{C} ' = \left\{ C_{i} \ | \ i = 1, 2 , \cdots , n \right\}$が存在する。そして、 $$ X \setminus \bigcup_{i = 1}^{n} O_{i} = X \setminus \bigcup_{i=1}^{n} \left( X \setminus C_{i} \right) = X \setminus \left( X \setminus \bigcap_{i=1}^{n} C_{i} \right) = \bigcap_{i=1}^{n} C_{i} = \emptyset $$ 従って、$\displaystyle X \subset \bigcup_{i=1}^{n} O_{i}$である。つまり、有限の部分カバー $\left\{ O_{1}, O_{2}, \cdots , O_{n} \right\}$ が存在して、$X$ はコンパクトになる。

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