📂位相幾何学

有限交叉性質

定義 ¹

位相空間 $X$について$\mathscr{A} \subset \mathscr{P} (X)$としよう。すべての有限部分集合$A \subset \mathscr{A}$について$\displaystyle \bigcap A \ne \emptyset$ならば、$A$が有限交叉性質^{finite Intersection Property}を持つという。

説明

$A$がf.i.p.を持つということは、開集合$U_{\alpha} \subset A$について常に次が成立することと同じである。 $$ \bigcap_{i=1}^{n} \left( X \setminus U_{i} \right) \ne \emptyset \implies \bigcap_{\alpha \in \forall } \left( X \setminus U_{\alpha} \right) \ne \emptyset $$

この性質は位相空間ではなく、ただの集合に対する性質であることに注意しよう。例として$\displaystyle \left\{ \left. \left[ 0 , {{1} \over {n}} \right] \ \right| \ n \in \mathbb{N} \right\}$は位相などを与えなくても、ただf.i.p.を持っていると言える。

次の定理はコンパクトの同値条件を教えてくれるので有用だが、文章に書くことからして冗長なうえ、証明も非常に理解しづらい。自己嫌悪に陥っても、コンパクトはもともと難しいものなのだからそういうものだと思っておこう。

定理

$X$がコンパクトであることの必要十分条件は、f.i.p.を持ち、閉じたすべての$A_{\alpha} \subset X$について$\displaystyle \bigcap_{\alpha \in \forall} A_{\alpha} \ne \emptyset$であることである。

証明

開集合 $O_{\alpha}$と閉集合$C_{\alpha}$について次が成立する。 $$ X \setminus \left( \bigcap C_{\alpha} \right) = \bigcup \left( X \setminus C_{\alpha} \right) = \bigcup O_{\alpha} $$

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$( \implies )$

$\mathscr{C} := \left\{ C_{\alpha} \ | \ \alpha \in \forall \right\}$が$X$の閉集合を元として持つ集合であり、f.i.p.を持つとすると、$\mathscr{O} := \left\{ O_{\alpha} = X \setminus C_{\alpha} \ | \ \alpha \in \forall \right\}$は$X$の開集合を元として持つ集合となる。

$\displaystyle \bigcap_{\alpha \in \forall} C_{\alpha} = \emptyset$と仮定すると $$ \bigcup_{\alpha \in \forall} \left( X \setminus C_{\alpha} \right) = X \setminus \left( \bigcap_{\alpha \in \forall} C_{\alpha} \right) = X \setminus \emptyset = X $$ であり、したがって$X \subset \mathscr{O}$、すなわち$\mathscr{O}$は$X$の開被覆となる。$X$はコンパクトなので、$\displaystyle X = \bigcup_{i=1}^{n} \left( X \setminus C_{i} \right)$を満たす有限開被覆$\mathscr{O} ' = \left\{ X \setminus C_{i} \ | \ i = 1, 2 , \cdots , n \right\}$が存在する。一方 $$ X = \bigcup_{i = 1}^{n} \left( X \setminus C_{i} \right) = X \setminus \bigcap_{i=1}^{n} C_{i} $$ なので$\displaystyle \bigcap_{i=1}^{n} C_{i} = \emptyset$である。これは$\mathscr{C}$がf.i.p.を持つという前提に矛盾するので、$\displaystyle \bigcap_{\alpha \in \forall} C_{\alpha} \ne \emptyset$でなければならない。

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$( \impliedby )$

$\mathscr{O} := \left\{ O_{\alpha} \ | \ \alpha \in \forall \right\}$を$X$の開被覆とすると、$\mathscr{C} := \left\{ X \setminus O_{\alpha} \ | \ \alpha \in \forall \right\}$は$X$の閉集合を元として持つ集合となる。

一方 $$ \bigcap_{\alpha \in \forall} C_{\alpha} = \bigcap_{\alpha \in \forall} \left( X \setminus O_{\alpha} \right) = X \setminus \bigcup_{\alpha \in \forall} O_{\alpha} = X \setminus X = \emptyset $$ なので$\mathscr{C}$はf.i.p.を持たず、$\displaystyle \bigcap_{i=1}^{n} C_{i} = \emptyset$を満たす$\mathscr{C} ' = \left\{ C_{i} \ | \ i = 1, 2 , \cdots , n \right\}$が存在する。そして $$ X \setminus \bigcup_{i = 1}^{n} O_{i} = X \setminus \bigcup_{i=1}^{n} \left( X \setminus C_{i} \right) = X \setminus \left( X \setminus \bigcap_{i=1}^{n} C_{i} \right) = \bigcap_{i=1}^{n} C_{i} = \emptyset $$ なので$\displaystyle X \subset \bigcup_{i=1}^{n} O_{i}$である。言い換えると、有限部分被覆$\left\{ O_{1}, O_{2}, \cdots , O_{n} \right\}$が存在して$X$はコンパクトとなる。

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