📂複素解析

三角関数による等角写像

定理 ¹

等角写像 $w = f(z) = \sin z$は垂直線 $y=k$ を楕円へ、水平線 $x = k$ を双曲線へ対応させる。

証明

$$ z = x + iy \\ w = u + i v $$とすると $$ u = \sin x \cosh y \\ v = \cos x \sinh y $$である。$y = k$ とすると $$ {{ u^2 } \over { \cosh^{2} k}} = \sin^{2} x \\ \displaystyle {{ v^2 } \over { \sinh^{2} k}} = \cos^{2} x $$。 両辺を足すと $$ {{ u^2 } \over { \cosh^{2} k}} + {{ v^2 } \over { \sinh^{2} k}} = 1 $$、 すなわち楕円の方程式になる。$x = k$ とすると $$ {{ u^2 } \over { \sin^{2} k}} = \cosh^{2} y \\ \displaystyle {{ v^2 } \over { \cos^{2} k}} = \sinh^{2} y $$。 両辺を引くと $$ {{ u^2 } \over { \sin^{2} k}} - {{ v^2 } \over { \cos^{2} k}} = 1 $$、 すなわち双曲線の方程式になる。

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