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ベルヌーイ分布の平均と分散 📂確率分布論

ベルヌーイ分布の平均と分散

公式

XU[a,b]X \sim U[a,b] 面積 E(X)=a+b2Var(X)=(ba)212 E(X) = {{ a+b } \over { 2 }} \\ \Var(X) = {{ (b-a)^{2} } \over { 12 }}

導出

戦略: 一様分布の定義から直接演繹する。

一様分布の定義: [a,b]R[a,b] \subset \mathbb{R} に対して、以下の確率密度関数を持つ連続確率分布]] U[a,b]U[a,b]一様分布という。 f(x)=1ba,x[a,b] f(x) = {{ 1 } \over { b - a }} \qquad , x \in [a,b]

平均

E(X)=abx1badx=1ba[x22]ab=1bab2a22=1ba(ba)(b+a)2=a+b2 \begin{align*} E(X) =& \int_{a}^{b} x {{ 1 } \over { b-a }} dx \\ =& {{ 1 } \over { b-a }} \left[ {{ x^{2} } \over { 2 }} \right]_{a}^{b} \\ =& {{ 1 } \over { b-a }} {{ b^{2} - a^{2} } \over { 2 }} \\ =& {{ 1 } \over { b-a }}{{ (b-a)(b+a) } \over { 2 }} \\ =& {{ a+b } \over { 2 }} \end{align*}

分散

E(X2)=abx21badx=1ba[x33]ab=1bab3a33=1ba(ba)(b2+ab+a2)3=b2+ab+a23 \begin{align*} E\left( X^{2} \right) =& \int_{a}^{b} x^{2} {{ 1 } \over { b-a }} dx \\ =& {{ 1 } \over { b-a }} \left[ {{ x^{3} } \over { 3 }} \right]_{a}^{b} \\ =& {{ 1 } \over { b-a }} {{ b^{3} - a^{3} } \over { 3 }} \\ =& {{ 1 } \over { b-a }}{{ (b-a)\left( b^{2} + ab + a^{2} \right) } \over { 3 }} \\ =& {{ b^{2} + ab + a^{2} } \over { 3 }} \end{align*}

したがって Var(X)=b2+ab+a23(a+b2)2=4b2+4ab+4a23a26ab3b212=a22ab+b212=(ba)212 \begin{align*} \Var(X) =& {{ b^{2} + ab + a^{2} } \over { 3 }} - \left( {{ a+b } \over { 2 }} \right)^{2} \\ =& {{ 4b^{2} + 4ab + 4a^{2} - 3a^{2} - 6ab - 3b^{2} } \over { 12 }} \\ =& {{ a^{2} - 2ab + b^{2} } \over { 12 }} \\ =& {{ (b-a)^{2} } \over { 12 }} \end{align*}