コーシーの平均値の定理の証明
📂微分積分学コーシーの平均値の定理の証明
概要
解説
平均値の定理と変わったところ言えば、単に関数が一つ増えただけだ。g(x)=xとしてみると、このgがもっと自由になったという意味で平均値の定理の一般化と言える。
証明
ロルの定理の対偶: g′(c)=0を満たすcが(a,b)に存在しないならばg(a)=g(b)
定理の前提からg′(x)=0であるため、ロルの定理の対偶によりg(a)=g(b)であることが保証される。それに基づいて、新しい関数h:R→Rを以下のように定義しよう。
h(x):=[g(b)−g(a)][f(b)−f(x)]−[f(b)−f(a)][g(b)−g(x)]
hの定義によるとh(a)=0=h(b)であり、今度はロルの定理によりh′(c)=0を満たすcが(a,b)に少なくとも一つ存在する。一方で、両辺をxに関して微分すると
h′(x)=−[g(b)−g(a)]f′(x)+[f(b)−f(a)]g′(x)
である。h(x)にx=cを代入すると
h′(c)=−[g(b)−g(a)]f′(c)+[f(b)−f(a)]g′(c)=0
であり、整理するとg′(c)f′(c)=g(b)−g(a)f(b)−f(a)を満たすcが(a,b)に少なくとも一つ存在することがわかる。
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参照