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コーシーの平均値の定理の証明 📂微分積分学

コーシーの平均値の定理の証明

概要1

解説

平均値の定理と変わったところ言えば、単に関数が一つ増えただけだ。g(x)=xg(x) = xとしてみると、このggがもっと自由になったという意味で平均値の定理の一般化と言える。

証明

ロルの定理の対偶: g(c)=0g ' (c)=0を満たすcc(a,b)(a,b)に存在しないならばg(a)g(b)g(a) \ne g(b)

定理の前提からg(x)0g ' (x) \ne 0であるため、ロルの定理の対偶によりg(a)g(b)g(a) \ne g(b)であることが保証される。それに基づいて、新しい関数h:RRh : \mathbb{R} \to \mathbb{R}を以下のように定義しよう。 h(x):=[g(b)g(a)][f(b)f(x)][f(b)f(a)][g(b)g(x)] h(x) := \left[ g(b)-g(a) \right] \left[ f(b)-f(x) \right] - \left[ f(b)-f(a) \right] \left[ g(b)-g(x) \right] hhの定義によるとh(a)=0=h(b)h(a)= 0 = h(b)であり、今度はロルの定理によりh(c)=0h ' (c)=0を満たすcc(a,b)(a,b)に少なくとも一つ存在する。一方で、両辺をxxに関して微分すると h(x)=[g(b)g(a)]f(x)+[f(b)f(a)]g(x) h ' (x)=- \left[ g(b)-g(a) \right] f ' (x)+ \left[ f(b)-f(a) \right] g ' (x) である。h(x)h(x)x=cx=cを代入すると h(c)=[g(b)g(a)]f(c)+[f(b)f(a)]g(c)=0 h ' (c)=- \left[ g(b)-g(a) \right] f ' (c)+ \left[ f(b)-f(a) \right] g ' (c)=0 であり、整理するとf(c)g(c)=f(b)f(a)g(b)g(a)\displaystyle {{f ' (c)}\over{g ' (c)}}={{f(b)-f(a)}\over{g(b)-g(a)}}を満たすcc(a,b)(a,b)に少なくとも一つ存在することがわかる。

参照


  1. James Stewart, Daniel Clegg, and Saleem Watson, Calculus (early transcendentals, 9E), pA47-A48 a<ba < bとしよう。もし関数 f,g:RRf,g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}[a,b][a,b]のすべての点で連続であり、すべてのx(a,b)x \in (a,b)微分可能であり、かつg(x)0g ' (x) \ne 0ならば、以下を満たすc(a,b)c \in (a,b)が少なくとも一つ存在する。 f(c)g(c)=f(b)f(a)g(b)g(a) {{f ' (c)}\over{g ' (c)}}={{f(b)-f(a)}\over{g(b)-g(a)}}  ↩︎