📂レンマ

1/(1+x^2)の積分

公式

• 定積分

$$\int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{1}{1+x^{2}}dx = \pi$$

• 不定積分

$$\int \dfrac{1}{1+x^{2}}dx = \tan^{-1} x + C$$

$C$は積分定数だ。

証明

定積分

$x = \tan \theta$で置換しよう。すると、積分範囲は$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \to \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}$になり、$\tan ^{\prime} = \sec^{2}$だから$dx = \sec^{2} d\theta$になる。

$$\begin{align*} \int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{1}{1+x^{2}}dx &= \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{1}{1 + \tan^{2}\theta} \sec^{2} \theta d\theta \\ &= \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{1}{1 + \frac{\sin^{2} \theta}{\cos^{2} \theta}} \sec^{2} \theta d\theta \\ &= \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{1}{\frac{\cos^{2} \theta + \sin^{2} \theta}{\cos^{2} \theta}} \sec^{2} \theta d\theta \\ &= \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{1}{\frac{1}{\cos^{2} \theta}} \sec^{2} \theta d\theta \\ &= \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^{2} \theta \sec^{2} \theta d\theta \\ &= \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^{2} \theta \dfrac{1}{\cos^{2} \theta} d\theta \\ &= \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} d\theta \\ &= \frac{\pi}{2} - (-\frac{\pi}{2}) \\ &= \pi \end{align*}$$

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不定積分

同様に、$x = \tan \theta$で置換すると、

$$\begin{align*} \int \dfrac{1}{1+x^{2}}dx &= \int \dfrac{1}{1 + \tan^{2}\theta} \sec^{2} \theta d\theta \\ &= \int \cos^{2} \theta \dfrac{1}{\cos^{2} \theta} d\theta \\ &= \int d\theta \\ &= \theta + C \\ &= \tan^{-1} x + C \end{align*}$$

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