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行列代数における射影 📂行列代数

行列代数における射影

定義

射影 P∈Cm×mP \in \mathbb{C}^{m \times m} が C(P)⊥=N(P)\mathcal{C} (P) ^{\perp} = \mathcal{N} (P) を満たせば、 PP を 正射影 であるとする。

説明

射影の性質 Cm=C(P)⊕N(P)\mathbb{C}^{m } = \mathcal{C} (P) \oplus \mathcal{N} (P) に従って、 PP は Cm\mathbb{C}^{m} を正確に二つの部分空間 C(P)\mathcal{C} (P) と N(P)\mathcal{N} (P) に分割することが分かる。

この分割で条件 N(P)=C(P)⊥\mathcal{N} (P) = \mathcal{C} (P) ^{\perp} を満たすということは、一次変換 PP の零空間 N(P)\mathcal{N} (P) が列空間 C(P)\mathcal{C} (P) の直交補空間という意味なので、単なる分割ではなく垂直性が含まれる分割であることが分かる。そのような意味で正射影の定義は非常に妥当であると言える。

一方で一次変換 PP が正射影であるための必要十分条件は PP がエルミート行列であることである。

その証明は思ったより難しくて乱雑なので、学習する際には事実として覚えておくことをお勧めする。

定理

C(P)⊥=N(P)  ⟺  P=P∗ \mathcal{C} (P) ^{\perp} = \mathcal{N} (P) \iff P = P^{\ast}

証明

(⟹)(\Longrightarrow)

Cm\mathbb{C}^{m} の正規直交基底が {q1,⋯ ,qm}\left\{ \mathbf{q}_{1} , \cdots , \mathbf{q}_{m} \right\} のとき、 dim⁡C(P)=r\dim \mathcal{C} (P) = r とすると C(P)\mathcal{C} (P) の正規直交基底は {q1,⋯ ,qr}\left\{ \mathbf{q}_{1} , \cdots , \mathbf{q}_{r} \right\} と置くことができる。 {q1,⋯ ,qr}\left\{ \mathbf{q}_{1} , \cdots , \mathbf{q}_{r} \right\} は C(P)\mathcal{C} (P) の基底なので qi=Pv\mathbf{q}_{i} = P \mathbf{v} を満たす何らかの v\mathbf {v} が存在する。そして、この式に PP を掛けると

Pqi=PPv=Pv=qi P \mathbf{q}_{i} = PP \mathbf{v} = P \mathbf{v} = \mathbf{q}_{i}

一方で Cm=C(P)⊕N(P)\mathbb{C}^{m} = \mathcal{C} (P) \oplus \mathcal{N} (P) なので、 N(P)\mathcal{N} (P) の正規直交基底は {qr+1,⋯ ,qm}\left\{ \mathbf{q}_{r +1} , \cdots , \mathbf{q}_{m} \right\} になるだろう。 {q1,⋯ ,qr}\left\{ \mathbf{q}_ {1} , \cdots , \mathbf{q}_{r} \right\} のベクトルで行列 Q:=[q1⋯qrqr+1⋯qm]Q : = \begin{bmatrix} \mathbf{q}_{1} & \cdots & \mathbf{q}_{r} & \mathbf{q}_{r+1} & \cdots & \mathbf{q}_{m} \end{bmatrix} を構成すると QQ は ユニタリ行列 となり、 PQPQ を計算すると

PQ=P[q1⋯qrqr+1⋯qm]=[Pq1⋯PqrPqr+1⋯Pqm]=[q1⋯qr0⋯0] \begin{align*} PQ =& P\begin{bmatrix} \mathbf{q}_{1} & \cdots & \mathbf{q}_{r} & \mathbf{q}_{r+1} & \cdots & \mathbf{q}_{m} \end{bmatrix} \\ =& \begin{bmatrix} P \mathbf{q}_{1} & \cdots & P \mathbf{q}_{r} & P \mathbf{q}_{r+1} & \cdots & P \mathbf{q}_{m} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \mathbf{q}_{1} & \cdots & \mathbf{q}_{r} & \mathbb{0} & \cdots & \mathbb{0} \end{bmatrix} \end{align*}

便宜上 Q^:=[q1⋯qr]\widehat{Q} := \begin{bmatrix} \mathbf{q}_{1} & \cdots & \mathbf{q}_{r} \end{bmatrix} として、 PQ=[Q^O]PQ = \begin{bmatrix} \widehat{Q} & O \end{bmatrix} で表すことができる。 上記で得た式に Q∗Q^{\ast} を掛けると

Q∗PQ=[Q^∗qr+1⋮qm][Q^O]=[Q^∗Q^OOO]=[IrOOO] \begin{align*} Q^{\ast} P Q =& \begin{bmatrix} \widehat{Q}^{\ast} \\ \mathbf{q}_{r+1} \\ \vdots \\ \mathbf{q}_{m} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \widehat{Q} & O \end{bmatrix} \\ =& \begin{bmatrix} \widehat{Q}^{\ast} \widehat{Q} & O \\ O & O \end{bmatrix} \\ =& \begin{bmatrix} I_{r} & O \\ O & O \end{bmatrix} \end{align*}

PP に関して整理すると

P=Q[IrOOO]Q∗ P = Q \begin{bmatrix} I_{r} & O \\ O & O \end{bmatrix} Q^{\ast}

となり

P∗=(Q[IrOOO]Q∗)∗=Q[IrOOO]Q∗=P P^{\ast} = \left( Q \begin{bmatrix} I_{r} & O \\ O & O \end{bmatrix} Q^{\ast} \right)^{\ast} = Q \begin{bmatrix} I_{r} & O \\ O & O \end{bmatrix} Q^{\ast} = P

故に PP はエルミート行列である。

(⟸)(\Longleftarrow)

Cm=C(P)⊕N(P)\mathbb{C}^{m } = \mathcal{C} (P) \oplus \mathcal{N} (P) より N(P)=C(I−P)\mathcal{N} (P) = \mathcal{C} (I-P) である。二つのベクトル Px∈C(P)P \mathbf{x} \in \mathcal{C} (P) と (I−P)y∈C(I−P)(I - P) \mathbf{y} \in \mathcal{C} (I - P) の内積を計算すると

(Px)∗(I−P)y=x∗P∗(I−P)y=x∗P(I−P)y=x∗(P−P2)y=x∗(P−P)y=0 \begin{align*} ( P \mathbf{x} )^{\ast} (I - P) \mathbf{y} =& \mathbf{x}^{\ast} P^{\ast} ( I - P ) \mathbf{y} \\ =& \mathbf{x}^{\ast} P ( I - P ) \mathbf{y} \\ =& \mathbf{x}^{\ast} ( P - P^2 ) \mathbf{y} \\ =& \mathbf{x}^{\ast} ( P - P ) \mathbf{y} \\ =& \mathbb{0} \end{align*}

したがって

C(P)=C(I−P)⊥=N(P)⊥ \mathcal{C} (P) = \mathcal{C} (I-P)^{\perp} = \mathcal{N} (P)^{\perp}

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