直交関数と直交集合
定義
内積
区間$[a,b]$で定義された二つの関数$f$、$g$の内積inner productを次のように定義する。
$$ \braket{f , g} := \int_{a}^b f(x) g(x) dx $$
$f, g$が複素関数の場合には、
$$ \braket{f, g} := \int_{a}^{b} f(x) \overline{g(x)} dx $$
このとき$\overline{z}$は$z$の共役複素数である。
直交関数
二つの複素関数$f$、$g$が以下の式を満たすとき、$f$、$g$は区間$[a,b]$で直交するという。
$$ \braket{f, g} = \int_{a}^{b} f(x) \overline{g(x)} dx = 0 $$
上で二つの関数の内積を積分で定義したので、積分値が$0$になるとき直交するというのは自然である。
直交集合
関数$\phi_{1}$、$\phi_2$、$\phi_{3}$、$\dots$が次の式を満たすとき、これらの関数の集合$\left\{\phi_{i}\right\}$を直交集合orthogonal setという。
$$ \braket{\phi_{m}, \phi_{n}} = \int_{a}^b \phi_{m} (x) \overline{ \phi_{n}(x) } dx = 0 \quad (m\ne n) $$
正規化
関数$f$のノルムを次のように定義する。
$$ \left\| f \right\| := \sqrt{\braket{f, f}} = \left( \int_{a}^b \left| f(x) \right| ^2 dx \right) ^{ \frac{1}{2} } $$
任意の関数$f$に対して適切な定数を掛けて$f$のノルムが$1$になるようにすることを正規化normalizeという。関数$f$を正規化した関数$f_{\text{normal}}$は、
$$ f_{\mathrm{normal}} = \frac{1}{ \left\| f \right\| }f $$
正規直交集合
直交集合$\left\{ \phi_{1}, \phi_{2}, \cdots \right\}$のすべての元が正規化された関数であれば、その集合を正規直交集合orthonomal setという。すなわちすべての$n, m$に対して次を満たせば正規直交集合である。
$$ \braket{\phi_{m}, \phi_{n}} = \int_{a}^b \phi_{m} (x) \overline{ \phi_{n}(x) } dx=\delta_{mn} $$
ここで$\delta_{mn}$はクロネッカーのデルタである。
説明
関数の直交は、ユークリッド空間で二つのベクトルの内積が$0$のとき二つのベクトルが直交するというのを関数の空間へ自然に一般化した概念である。上のように定義された内積はすなわち$L^{2}$空間の内積なので、二乗積分可能な関数をあたかもベクトルのように扱い直交性を論じることができるようになる。代表的な活用先はフーリエ級数であり、三角関数の集合が区間$[-\pi, \pi]$で直交集合をなすため、関数を三角関数の級数へ展開するとき各係数を内積一回で簡単に求めることができる。